Problemas con la temperatura
En el momento del alunizaje en la cara visible de la Luna, el escudo térmico empieza a trabajar y a funcionar en dicha superficie.
El escudo térmico lleva consigo un sistema de regulación automática de la temperatura, basado en sensores que registran las variaciones de radiación y temperatura. El problema aparece cuando uno de los sensores empieza a ofrecer valores que no se corresponden con los valores esperados. Para que los sensores funcionen correctamente, los valores deben oscilar entre -1 y 20 grados centígrados.
Cuando el equipo de operaciones comienza a trabajar con la información, se dan cuenta de que hay que calibrar el escudo térmico a partir de la resolución de una ecuación de grado superior a 2.
Lectura facilitada
Cuando la nave aluniza en la cara visible de la Luna, el escudo térmico empieza a funcionar.
Este escudo controla la temperatura usando sensores.
Uno de los sensores falla y da datos incorrectos.
El equipo detecta el problema y decide ajustar el escudo térmico.
Los sensores trabajan bien si la temperatura está entre -1 y 20 grados.
Para hacerlo, hay que resolver una ecuación matemática de grado superior a 2.
Antes de empezar: conceptos clave
Vas a aprender a resolver ecuaciones de la forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\).
Con los conocimientos de 3.º de ESO, no se pueden resolver todas las ecuaciones polinómicas de tercer grado; solo aquellas que tengan al menos una raíz entera. Necesitarás esta raíz para factorizar la ecuación. Cada factor, igualado a 0, da las soluciones.
El término independiente es d ≠ 0
Encontrar la solución de la ecuación es lo mismo que encontrar la raíz del polinomio de grado 3: \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
Recuerda lo aprendido en el tema de polinomios, sobre el cálculo de raíces y la factorización: al dividir entre la expresión \(x-a\), si el resto es 0, habrás encontrado la solución \(x=a\).
Vas a repasarlo con este ejemplo, en el cual se divide utilizando el método de Ruffini.
Ejemplo: calcula las raíces de la ecuación \(x^3-6x^2+11x-6=0\).
Paso 1: ordena y escribe todos los coeficientes
Coloca los coeficientes de la ecuación en línea, ordenados por su grado, de mayor a menor.
En el caso de que algún coeficiente sea 0, inclúyelo.
Observa que habrá cuatro coeficientes si es de grado 3.
Paso 2: elige un divisor del término independiente
Deja una fila debajo para las operaciones y enmárcalas con dos líneas, a modo de caja.
Por fuera, donde está el círculo rojo, escribe el número que puede ser solución (raíz).
Prueba con los divisores del término independiente, en este caso del -6: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Empieza por el número 1. Recuerda que estás dividiendo entre \(x-1\), si el resto es 0 habrás encontrado la solución \(x=1\).
Paso 3: escribe el primer coeficiente
Coloca el primer término en la parte inferior (tal y como se indica), sin realizar ningún cálculo.
Has obtenido el primer coeficiente del divisor.
Paso 4: multiplica y suma
Multiplica el número que colocaste a la izquierda por el número que acabas de colocar en la parte inferior (ambos en un círculo rojo), coloca el resultado en el círculo verde y suma esa columna.
Has obtenido el segundo coeficiente del divisor, -5, sitúalo debajo.
Paso 5: repite el paso 4
Repite el paso anterior hasta completar todos los coeficientes.
En este caso, como el último número obtenido en la parte inferior (el resto) es 0, la división es exacta y has encontrado una solución; \(x=1\).
Si el último número no fuese un cero, tendrías que probar con otros divisores de -6.
Si ninguno de ellos tiene de resto 0, no podrás resolver la ecuación por este método.
Paso 6: repite los pasos 1 a 5
Repite el algoritmo con el nuevo polinomio: \(x^2-5x+6\).
Prueba con algún divisor de 6, buscando el resto 0.
Como puedes ver en la imagen, el 2 lo cumple.
La división es exacta y has encontrado la solución; \(x=2\).
El cociente es \(x-3\).
Puedes parar aquí, o seguir dividiendo entre \(x-3\); obviamente, el cociente es 1 y el resto es 0.
Las soluciones de la ecuación son los números que aparecen en el lateral izquierdo, \(x=1\), \(x=2\) y \(x=3\).
La factorización de la ecuación es \((x-1)(x-2)(x-3)=0\).
Parada técnica en el paso 5
Una vez obtenido el primer cociente, la ecuación factorizada es:
\((x^3-6x^2+11x-6)=(x-1)(x^2-5x+6)=0\).
El segundo factor es una expresión de segundo grado.
Como ya viste en 3.3, \((x^2-5x+6)=0\) se puede resolver directamente utilizando una fórmula:
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4·1·6}}{2·1}\)
Tú decides cuál es la mejor forma de obtener las soluciones, usando la fórmula o continuando la división por Ruffini.
El término independiente es d = 0
Si el término independiente es cero, puedes sacar factor común x, que aporta la solución \(x=0\).
El otro factor es de segundo grado que ya podrás resolver por el método anterior.
Sacar factor común x
- Ejemplo 1: para resolver la ecuación \(x^3-2x^2=0\), saca factor común \(x^2(x-2)=0\), las soluciones son \(x=0\) y \(x=2\).
- Ejemplo 2: para resolver la ecuación \(x^3-x=0\), saca factor común \(x(x^2-1)=0\), una solución es \(x=0\); para calcular las otras dos soluciones, resuelve la ecuación de segundo grado \(x^2-1=0\); se trata de un producto notable, por lo que se deducen fácilmente los dos resultados: \(x=1\) y \(x=-1\).
Para calibrar el escudo térmico y lograr la regulación automática de la temperatura de la nave, los sistemas informáticos han generado varias ecuaciones.
Según los sistemas informáticos, la regulación automática de la temperatura funciona correctamente.