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3.4. Protección en el vacío

Más que un simple "traje"

Astronauta Buzz Aldrin en su traje espacial y sobre la superficie lunar

En los viajes espaciales, el traje es vital para la tripulación. Protege del vacío, los golpes y mantiene la temperatura corporal estable, ya sea con frío o con calor extremos.

Has recibido un mensaje del centro de control, para recordarte que el control de la temperatura del traje depende de varias capas aislantes. Estas capas se pueden entender con ecuaciones bicuadradas y entender bien su funcionamiento es muy importante para que el traje funcione de manera segura.

Debes analizar y resolver estas ecuaciones especiales, que son de grado 4 y no tienen términos de grado impar, para verificar si el traje realmente protege como debe en el espacio antes de salir a la superficie lunar.

Lectura facilitada

El traje espacial es muy importante en los viajes al espacio.

Protege a los astronautas del vacío y de las temperaturas extremas.

El centro de control te ha enviado un mensaje.

Te recuerda que el traje tiene varias capas que ayudan a mantener la temperatura.

Estas capas se explican con ecuaciones bicuadradas.

Son ecuaciones de grado 4 y no tienen potencias impares.

Tu tarea es resolver estas ecuaciones para comprobar que el traje funciona bien antes de salir a la Luna.

Antes de comenzar: conceptos clave

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de grado 4 a las que les faltan los términos de grado impar y, por lo tanto, tienen esta forma:

\(y=ax^4+bx^2+c\)

Se resuelven de forma similar a las ecuaciones de segundo grado, pero haciendo antes un cambio de la incógnita (cambio de variable).

Al realizar el cambio \(x^2=t\), se transforma la ecuación inicial en una de segundo grado que acabas de ver en el apartado 3.3.:

\(y=at^2+bt+c\)

Tras obtener las soluciones de la ecuación anterior (\(t_1\) y \(t_2\)), debes deshacer el cambio para hallar las de la ecuación bicuadrada.

De esta forma, puedes obtener hasta cuatro soluciones reales.

Ejemplo con 4 soluciones reales

Resuelve la ecuación \(x^4-13x^2+36=0\).

  • Lo primero es hacer el cambio de variable \(x^2=t\) para convertirla en una ecuación de segundo grado:

\(x^4-13x^2+36=0\)          \(\Rightarrow\)          \(t^2-13t+36=0\)

  • Se resuelve la ecuación de segundo grado:

\[t = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4\cdot1\cdot36}}{2\cdot1}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13 \pm 5}{2}\]

Cuyas soluciones son \(t_1=4\) y \(t_2=9\).

  • Para terminar, se deshace el cambio de variable y se calcula x. Si \(t=x^2\), entonces: \(x=\pm \sqrt{t}\).

\(\left. \begin{array} \\ \pm \sqrt{4}=\pm 2 \\ \pm \sqrt{9}=\pm 3\end{array} \right\} \Rightarrow\ x_1= -3 ; x_2 = -2 ; x_3= 2 ; x_4= 3\)

Comparativa de soluciones grado 2 y grado 4

Ejemplo con 2 soluciones reales

Resuelve la ecuación \(x^4-5x^2-36=0\).

  • Lo primero es hacer el cambio de variable \(x^2=t\) para convertirla en una ecuación de segundo grado:

\(x^4-5x^2-36=0\)          \(\Rightarrow\)          \(t^2-5t-36=0\)

  • Se resuelve la ecuación de segundo grado:

\[t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-36)}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{2}=\frac{5 \pm 13}{2}\]

Cuyas soluciones son \(t_1=9\) y \(t_2=-4\).

  • Para terminar, se deshace el cambio de variable y se calcula x. Si \(t=x^2\), entonces: \(x=\pm \sqrt{t}\).

\(\left. \begin{array} \\ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3 \\ x=\pm \sqrt{-4}=\nexists \in \mathbb{R}\end{array} \right\} \Rightarrow\ x_1=3; x_2=-3\)

Comparativa de soluciones de ecuaciones de grado 2 y 4 con 2 soluciones

Ajustando el traje espacial

¡Enhorabuena! Has conseguido un diseño válido para los trajes, por lo que aseguras que estaréis bien protegidos durante el resto de la misión.

Antes de continuar con la travesía, el traje de la tripulación debe superar una prueba de simulación térmica. Para ello, un sistema de simulacros genera ecuaciones que modelizan el comportamiento del traje y de los accesorios en condiciones extremas.

Deberás resolver correctamente las ecuaciones bicuadradas para confirmar si su diseño es válido.

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Cuestión de etiqueta

Lo primero que debes hacer es seleccionar entre uno de los trajes del compartimento de vestuario. Elige la ecuación bicuadrada de entre las tres que se presentan en las etiquetas:

  1. \(x^4+3x^3-2=0\)
  2. \(2x^4-5x^2+1=0\)
  3. \(x^2+4x+4=0\)

Solución: La etiqueta adecuada es la que tiene la letra @@b@@.

Protegiendo manos y pies

A la hora de ajustar el diseño de los guantes y de las botas, debes resolver ecuaciones bicuadradas. Indica las soluciones de menor a mayor.

Para ajustar los guantes resuelve la siguiente ecuación:

\(y^4-5y^2+4=0\)

Soluciones: \(y_1=\)@@-2@@, \(y_2=\)@@-1@@, \(y_3=\)@@1@@ y \(y_4\)=@@2@@

Para ajustar las botas resuelve la siguiente ecuación:

\(y^4-9y^2=0\)

Soluciones: \(y_1=\)@@-3@@, \(y_2=\)@@0@@ y \(y_3=\)@@3@@

La comodidad como requisito fundamental

Desde el centro de control te indican que, para garantizar seguridad y comodidad en los componentes, el parámetro y debe tomar el mayor valor posible. En vista de los resultados obtenidos anteriormente, ¿serán más cómodos los guantes o las botas?

Solución: la comodidad mayor se da en @@pies@@. (indica "manos" o "pies") 

¡De cabeza!

A la hora de diseñar el casco, debes resolver la siguiente ecuación:

\(z^4+2z^2+5=0\)

Tras resolverla, tu equipo te dice que no encuentra soluciones reales.

¿Qué significa esto en el contexto del diseño de la pieza?

  1. El casco funciona correctamente.
  2. El modelo matemático no es válido para esa situación.
  3. Falta una solución negativa.
  4. El valor de z es cero.

Solución: opción @@b@@.

Su navegador no es compatible con esta herramienta.

Prueba de seguridad

Icono de seguridad compuesto por una persona dentro de una burbuja protectora

Antes de continuar con tu misión, el sistema automático del traje realiza una última comprobación de seguridad.

Resolver correctamente estas ecuaciones hasta obtener 10 puntos garantizará que todos los parámetros están dentro de los valores seguros.

Si alguna solución es una raíz irracional habrá que dejar el resultado con la raíz cuadrada.

La raíz cuadrada se puede introducir con el comando sqrt() o mediante el teclado GeoGebra que aparece en la parte inferior del applet al clicar en una casilla de introducción de resultados.

Cada respuesta correcta suma 2 puntos y cada respuesta incorrecta resta 1 punto.

https://www.geogebra.org/m/cuf3t9as (Ventana nueva)

(Guardar la puntuación)
Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/cuf3t9as,Ecuaciones%20bicuadradas%20%28autoevaluable%29,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Débora Pereiro Carbajo

¿Cómo protege...?

El astronauta Reid Wiseman en el espacio

El traje que usan los astronautas cuando salen al espacio tiene 14 capas en total. Estas capas se agrupan en tres partes:

Tres capas para enfriar y ventilar, que evitan que el astronauta se caliente demasiado. 

Una capa que mantiene la presión interna, necesaria para poder respirar y moverse con seguridad.

Nueve capas externas de protección, que lo cuidan de pequeños fragmentos de roca espacial y de los cambios extremos de temperatura.

Lectura facilitada

El traje de los astronautas tiene 14 capas.

Estas capas los protegen del espacio.

3 capas ayudan a que el astronauta no tenga calor.

1 capa permite respirar y moverse.

9 capas lo protegen del frío, del calor y de rocas pequeñas.

Feito con eXeLearning (Nova xanela)