# 3.5. Preparando el alunizaje

# Tan cerca y a la vez tan lejos...

La última de las misiones tripuladas a la luna tuvo lugar en 1972, el Apolo 17, siendo Eugene Cernan y Harrison Schmitt las últimas personas en caminar sobre nuestro satélite. Por este motivo, existen dudas respecto al comportamiento de las nuevas naves en la superficie lunar.

A través de los datos de un simulador facilitado por la Agencia Espacial Europea, se ha realizado un análisis de la trayectoria de una nave de reconocimiento en la Luna.

Esa trayectoria de ascenso y descenso en la superficie lunar está modelada por una función cuadrática, por lo que su gráfica tiene forma de parábola.

## Lectura facilitada

La última vez que una nave con personas llegó a la Luna fue en 1972.

Desde entonces, no han vuelto a ir astronautas.

No se sabe cómo se comportan las naves actuales cuando aterrizan en la superficie lunar.

Para su estudio se usan los datos de un simulador de la Agencia Espacial Europea.

El camino que sigue la nave al bajar y subir se puede representar con una función cuadrática.

Su gráfica tiene forma de parábola.

## Antes de empezar: conceptos clave

Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2 y que, por lo tanto presenta la forma siguiente:

\(y=ax^2+bx+c\) , donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, siendo \(a\neq 0\).

A esta expresión se le denomina forma general de la parábola.

Como viste en el apartado 3.2., su gráfica tiene forma de parábola, con un vértice y un eje de simetría.

## 1. Dirección de apertura

Si \(a>0\) la parábola abre hacia arriba.

Si \(a<0\) la parábola abre hacia abajo.

## 2. Determinar el vértice

El vértice representa el punto crítico del vuelo (es el punto más alto o más bajo de la trayectoria).

- Si la parábola abre hacia arriba, es el punto más bajo: la nave alcanza su altura mínima e inicia un ascenso.
- Si abre hacia abajo, es el punto más alto: la nave alcanza su altura máxima e inicia el descenso.

En la forma general, las coordenadas del vértice no aparecen entre los coeficientes. Para calcularlo se usa la expresión que viste en el apartado 3.2., obtenida al igualar los coeficientes de x en ambas fórmulas:

\(x_V = -\dfrac{b}{2a}, y_V = f(-\dfrac{b}{2a})\)

Este punto indica el momento exacto en el que la nave cambia de ascenso a descenso o viceversa.

## 3. Cortes con los ejes

Corte con el eje \(Y\) (posición inicial del vuelo)

Se obtiene sustituyendo \(x=0\): \(y=c\)

Representa la altura inicial de la nave justo al activar motores.

Cortes con el eje \(X\) (posibles alunizajes o puntos donde la nave toca la “superficie”)

Para conocer cuándo la nave vuelve al nivel del suelo lunar, resuelve \(ax^2 + bx + c = 0\).

Las soluciones te dirán en qué momentos \(x\) la nave toca la superficie.

## Ejemplo 1: calcula puntos clave

En la ecuación anterior: \(-2x^2 + 4x + 6 = 0\)

Vértice

\(x_V = -\dfrac{4}{2\cdot (-2)}=1, \qquad y_V = -2\cdot (1)^2 + 4\cdot (1) + 6 = 8 \)

Corte con el eje \(Y\)

\(y(0) = 6\)

La nave parte desde 6 unidades de altura (plataforma elevada).

Cortes con el eje \(X\)

Resuelve: \( -2x^2 + 4x + 6 = 0 \)

\(\dfrac{-4 \pm \sqrt{\,4^2 - 4\cdot (-2)\cdot (6)\,}}{2\cdot (-2)}\) = \( \dfrac{-4 \pm \sqrt{\,16+48\,}}{-4}\) = \( \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{-4}\) = \(\dfrac{-4 \pm 8}{-4}\)

Soluciones: \(x = -1, \qquad x = 3\)

## Ejemplo 2: representa la trayectoria

Puedes ver que la nave despega de una plataforma elevada en \(y = 6\), que alcanza la altura máxima en el punto \(V = ( 1 , 8)\) y que toca la superficie en \(x = 3\).

Aunque la gráfica es infinita, al hacer un modelo se estudia solo en un intervalo del eje \(X\).

# Cómo identificar la forma en función del valor de los coeficientes

La forma de la parábola, es decir, cómo se comporta la trayectoria, depende directamente del valor de los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\).

- Un coeficiente \(a\) pequeño en valor absoluto produce una parábola más “abierta” (menos pronunciada); uno grande la hace más “cerrada” (más pronunciada). Además, ya sabes que la parábola será abierta hacia arriba o abierta hacia abajo en función del signo que presente este coeficiente.
- El coeficiente \(b\) mueve la parábola a derecha/izquierda y cambia el eje de simetría. También afecta a la coordenada \(y\) del vértice de la parábola.
- El coeficiente \(c\) desplaza arriba/abajo la parábola y cambia la altura obtenida.

Puedes ver a continuación cómo influye la variación de cada uno de los coeficientes.

https://www.geogebra.org/m/tmuu5pha (Ventana nueva)

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# Entrenamiento obligatorio: trayectorias parabólicas

Debes dibujar las diferentes parábolas propuestas en el simulador.

Para ello, puedes arrastrar los elementos del gráfico o introducir los datos pedidos en las casillas correspondientes: vértice, eje de simetría y dos puntos pertenecientes a la parábola en cuestión.

Obtén una calificación de 10 puntos antes de enfrentarte al desafío en la superficie lunar.

https://www.geogebra.org/m/g5fzdhng (Ventana nueva)

(Guardar la puntuación)
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Autoría: Javier Cayetano

# Cuenta atrás: análisis de trayectorias parabólicas

## ¡Genial!

Has conseguido realizar todos los cálculos correctamente antes del final de la cuenta atrás.

## Temporizador activo

Realiza correctamente los ejercicios sobre trayectorias parabólicas antes de que finalice el tiempo, asegurando así que el alunizaje de la nave Nosa Terra I se ejecute con una trayectoria precisa y segura.

NOTA: no indiques resultados numéricos con decimales. Si la solución no es un número entero debes indicarla como fracción irreducible y de la forma siguiente: 3/7.

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## ...4,

Una de las posibles trayectorias iniciales viene dada por la función:

\(y = x^2 - 4x\)

- Calcula el vértice de la parábola.

V = (@@2@@ , @@-4@@)

- Halla los puntos de corte con el eje \(X\)

\(\Rightarrow\) Los puntos de corte con el eje X son (primero indica el que tiene un valor de la coordenada x menor):

(@@0@@ , @@0@@) y (@@4@@ , @@0@@)

- Indica si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

\(\Rightarrow\) La parábola se abre hacia @@arriba@@.

## ...3,

Durante otro intento de alunizaje la trayectoria viene dada por la función:

\(y = 2x^2 - 7x + 5\)

- Calcula el vértice de la parábola.

V = (@@7/4@@ , @@-9/8@@)

- Halla los puntos de corte con el eje \(X\)

\(\Rightarrow\) Los puntos de corte con el eje X son (primero indica el que tiene un valor de la coordenada x menor):

(@@1@@ , @@0@@) y (@@5/2@@ , @@0@@)

- Determina el eje de simetría.

\(\Rightarrow\) El eje de simetría viene dado por la función X = @@7/4@@.

##

## ...2,

Ahora es necesario diseñar una trayectoria parabólica de la forma:

\(y = x^2 + bx + c\)

Sabiendo que el vértice está en el punto \(V = (2 , 1)\),

- Calcula los valores de \(b\) y \(c\).

Los valores obtenidos son b = @@-4@@ y c = @@5@@.

- Determina su eje de simetría.

\(\Rightarrow\) El eje de simetría viene dado por la función X = @@2@@.

## ...1,

La trayectoria de alunizaje definitiva responde a una función de la forma:

\(y = ax^2 + 3x + c\)

Sabiendo que la parábola pasa por el origen de coordenadas, y que pasa además por el punto (2 , 4)...

- Determina el valor de \(c\):

El valor de obtenido de c = @@0@@.

- Halla el valor de \(a\):

El valor obtenido de a = @@-1/2@@.

Su navegador no es compatible con esta herramienta.

# Calculando de trayectorias lunares: ¡no es un simulacro!

Diseña las trayectorias que debe seguir la nave en la superficie lunar. Estas trayectorias tienen forma de parábolas, que se pueden representar mediante funciones cuadráticas del tipo \(y = ax^2 + bx + c\).

A lo largo de la actividad deberás ajustar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para cumplir distintas misiones.

Cada misión representa una situación real del viaje lunar: despegues, saltos y aterrizajes seguros.

Observa la gráfica, razona con calma y comprueba si la trayectoria cumple las condiciones pedidas.

https://www.geogebra.org/m/fa698h45 (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/fa698h45,Simulador%20de%20trayectorias%20lunares,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

# ¿Volveremos a la luna...?

Cincuenta años después de la última misión tripulada a la Luna, la NASA planea enviar astronautas nuevamente al espacio con Artemis II. Esta misión probará los sistemas clave para futuros viajes lunares y forma parte del programa Artemis, cuyo objetivo es restablecer una presencia humana sostenida en la superficie lunar. Artemis II consistirá en un viaje de diez días alrededor de la Luna con una tripulación de cuatro astronautas.

La misión incluirá experimentos científicos diseñados para examinar los efectos del espacio en el cuerpo humano. Los astronautas serán monitoreados antes y después del viaje y los científicos cultivarán organoides (tejidos orgánicos creados en laboratorio) a partir de muestras de sangre para analizar los cambios inducidos por la exposición espacial.

Fuente: Artemis II - NASA.

## Lectura facilitada

Han pasado cincuenta años desde la última misión con personas a la Luna.

Ahora, la NASA quiere volver a enviar astronautas al espacio en la misión Artemis II.

El objetivo es probar naves y sistemas para futuros viajes a la Luna.

La misión durará diez días y participarán cuatro astronautas.

La nave viajará alrededor de la Luna, pero no aterrizará en ella.

Durante el viaje, se realizarán experimentos científicos para saber cómo afecta el espacio al cuerpo humano.

Se estudiará a los astronautas antes y después del viaje.

Se usarán muestras de sangre para crear tejidos en el laboratorio.

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