# 3.2. El centro de comunicación

## Glosario

## Cóncavo

Definición:

  Que tiene forma de montaña, es decir, que está abombado hacia fuera.

Ejemplo:

  La trayectoria dibujada por un salto del astronauta sobre la Luna es cóncava.

## Convexo

Definición:

  Que tiene forma de cuenco, es decir, está hundido hacia dentro.

Ejemplo:

  El panel de control del módulo lunar es convexo.

## Foco

Definición:

  Punto fijo sobre el eje de la parábola. Todos los puntos de la parábola se encuentran a la misma distancia de este que de la recta directriz de la parábola. Además, todos los rayos paralelos al eje de simetría se reflejarán sobre el foco.

Ejemplo:

  El foco es el lugar estratégico en el que colocar los receptores en las antenas parabólicas.

## Reflector

Definición:

  Aparato que refleja las ondas o las radiaciones.

Ejemplo:

  Los radiotelescopios son reflectores gigantes que captan ondas de radio y permiten estudiar objetos no visibles.

# Comunicación con la nave

## Comunicando

En cualquier misión espacial, la comunicación con la nave es fundamental. Grandes antenas parabólicas garantizan que todo funcione correctamente.

Su forma no es casual, fíjate en el eje central. Cualquier rayo paralelo a él se va a reflejar en un solo punto, el foco, y así se aprovecha al máximo la señal.

Esta es una versión tridimensional de la curva más fácil para dibujar: la parábola.

## La versión (0, 0)

La expresión más simple de una parábola es y = x2.

Puedes poner \(f(x)\) en lugar de y si estás usando el vocabulario de funciones.

Si le das tres valores a la \(x\), por ejemplo, -1, 0 y 1, obtienes tres puntos que te permiten dibujarla fácilmente.

Fíjate en su forma, si doblas por el eje \(Y\) sus ramas coinciden.

Por eso se dice que tiene un eje de simetría.

Además, hay un punto en el que cambia la monotonía, el (0, 0), se le llama vértice.

Esta es la forma básica. Se mueve en vertical o en horizontal trasladando el vértice.

Es muy sencillo, solo tienes que restar un número a la \(x\) o a la \(y\).

## Versiones T

Fíjate en la imagen, la parábola azul se ha trasladado 3 unidades en horizontal y 2 en vertical.

El nuevo vértice (3, 2) se ve con claridad en su fórmula.

El 3 resta a \(x\) porque es un movimiento en el eje \(X\), y el 2 resta a la y porque es un movimiento en el eje \(Y\).

Si quieres ponerla con la \(y\) en un solo miembro de la igualdad quedaría así:

y = (x - 3)2 +2

Cualquier parábola tiene una expresión de esta forma:

y = a (x - h)2 + k donde (h, k) es su vértice.

Si haces cálculos, y = x2 - 6x + 9 + 2 = x2 - 6x + 11.

Esta es otra forma de expresarla, y = ax2 + bx + c.

## El vértice

La expresión anterior y = a(x - h)2 + k te ayudará a saber el vértice (h, k) cuando aparezca en otros formatos.

Observa el desarrollo del cuadrado que aparece en esta imagen. Fíjate en el coeficiente de \(x\).

En la expresión y = ax2 + bx + c; el segundo coeficiente, b, era antes -2ah; lo que te permite hallar h.

\(h = \dfrac{-b}{2a}\)

## Corte (x, 0)

Conocer el valor de \(x\) cuando \(y = 0\) es fácil en este formato.

Basta despejar, paso a paso, cada elemento de la expresión.

Ejemplo I: \(0= (x-3)^2+2\)

\(-2= (x-3)^2\) que no tiene solución (no corta al eje \(X\)).

Ejemplo II: \(0= (x-3)^2-4\)

\(4= (x-3)^2\); \(\pm\sqrt{4}=(x-3)\)

Cuyas soluciones son -2 + 3 = 1; y 2 + 3 = 5

En la siguiente pestaña puedes ver este ejemplo con cálculos y en una gráfica.

## Visualiza

La ecuación representa la búsqueda de los cortes de la parábola con el eje X, expresada de la forma: \(y = a(x -h)^2 + k \).

Observa que en este formato no se necesita ninguna fórmula específica para resolver la ecuación igualada a 0.

En la página siguiente verás esta aplicación para la expresión de la parábola en la forma: \(y = ax^2 + bx + c \); en este caso, sí será necesaria una fórmula.

# Traslaciones de la parábola básica \(y = x^2\)

En este applet puedes comprobar cómo afectan las traslaciones a la siguiente expresión de la parábola.

\(y = (x - h)^2 + k\)

Escribe en tu cuaderno las conclusiones, acompañadas de la gráfica.

https://www.geogebra.org/m/zfexxurk (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/zfexxurk,Traslaciones%20de%20par%E1bolas%20I,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

# Traslaciones de la parábola básica \(y = ax^2\)

Ahora se añade un elemento nuevo, el coeficiente \(a\) de x2 va cambiando, y esto deforma la curva.

Comprueba juntos los tres elementos que transforman la parábola: \(a\), \(h\) y \(k\).

\(y = a(x - h)^2 + k\)

Escribe en tu cuaderno las conclusiones, acompañadas de la gráfica.

https://www.geogebra.org/m/kf9hbntr (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/kf9hbntr,Traslaciones%20de%20par%E1bolas%20II,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

# La antena perfecta para "Nosa Terra I"

El centro de control requiere la instalación de una antena parabólica de tipo Cassegrain para mantener la comunicación con la nave Nosa Terra I.

Dado que la forma de la antena debe ser parabólica, se han elaborado tres diseños diferentes. Estos se describen mediante ecuaciones en forma vértice:

Opción A \(\Rightarrow\ y = \dfrac{1}{2}\ (x-2)^2 - 4\)

Opción B \(\Rightarrow\ y = (x-2)^2 - 4\)

Opción C \(\Rightarrow\ y = - (x-2)^2 - 4\)

El objetivo es representar gráficamente cada una de las tres parábolas, evaluarlas y seleccionar la más apropiada considerando aspectos técnicos y económicos.

## Tarea 1: Representación gráfica

Representa en tu cuaderno cada una de las tres parábolas indicando claramente:

1. El vértice.
2. Los puntos de corte con el eje \(X\) (si existen).
3. Al menos dos puntos más, que sean simétricos respecto al eje de simetría.

## Tarea 2: Análisis técnico

Una antena Cassegrain válida debe cumplir las siguientes condiciones:

1. La parábola debe abrirse hacia arriba.
2. Debe cortar al eje \(X\) en dos puntos distintos.
3. La distancia entre los puntos de corte con el eje \(X\) debe ser menor que 6 unidades, para reducir el tamaño y coste de la antena.

Analiza cada opción y justifica cuáles cumplen cada una de las condiciones.

## Tarea 3: La elección final

Indica qué opción es la más adecuada para construir la antena de comunicación y explica tu elección usando los argumentos que consideres necesarios.

¡Cuando elijas la antena adecuada todo estará listo para el lanzamiento!

# ¿Esta forma es casual...?

La antena Cassegrain es un tipo de antena parabólica donde el emisor se ubica en el centro o detrás del plato parabólico principal, que es cóncavo.

Este emisor apunta hacia un reflector secundario, más pequeño y convexo, situado frente al plato principal.

Las ondas de radio del emisor alcanzan primero el reflector secundario, que las dirige hacia el plato parabólico principal.

Este último las refleja hacia adelante, formando el haz de señal deseado para la transmisión o recepción.

Este diseño es común en antenas parabólicas, especialmente las grandes, como las de estaciones terrestres de satélites, radiotelescopios y satélites de comunicaciones.

Fuente: Telescopio de Cassegrain.

## Lectura facilitada

Las antenas Cassegrain son antenas parabólicas.

Tienen un pequeño emisor.

Tienen un plato principal con forma de parábola.

Las ondas de radio del emisor se dirigen al plato.

Allí se reflejan permitiendo así la comunicación.

Este diseño es el habitual en antenas parabólicas.

Fuente: Telescopio de Cassegrain.

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