# 3.6. Ajustando el escudo térmico tras el alunizaje

# Problemas con la temperatura

En el momento del alunizaje en la cara visible de la Luna, el escudo térmico empieza a trabajar y a funcionar en dicha superficie.

El escudo térmico lleva consigo un sistema de regulación automática de la temperatura, basado en sensores que registran las variaciones de radiación y temperatura. El problema aparece cuando uno de los sensores empieza a ofrecer valores que no se corresponden con los valores esperados. Para que los sensores funcionen correctamente, los valores deben oscilar entre -1 y 20 grados centígrados.

Cuando el equipo de operaciones comienza a trabajar con la información, se dan cuenta de que hay que calibrar el escudo térmico a partir de la resolución de una ecuación de grado superior a 2.

## Lectura facilitada

Cuando la nave aluniza en la cara visible de la Luna, el escudo térmico empieza a funcionar.

Este escudo controla la temperatura usando sensores.

Uno de los sensores falla y da datos incorrectos.

El equipo detecta el problema y decide ajustar el escudo térmico.

Los sensores trabajan bien si la temperatura está entre -1 y 20 grados.

Para hacerlo, hay que resolver una ecuación matemática de grado superior a 2.

## Antes de empezar: conceptos clave

Vas a aprender a resolver ecuaciones de la forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\).

Con los conocimientos de 3.º de ESO, no se pueden resolver todas las ecuaciones polinómicas de tercer grado; solo aquellas que tengan al menos una raíz entera. Necesitarás esta raíz para factorizar la ecuación. Cada factor, igualado a 0, da las soluciones.

## El término independiente es d ≠ 0

Encontrar la solución de la ecuación es lo mismo que encontrar la raíz del polinomio de grado 3: \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).

Recuerda lo aprendido en el tema de polinomios, sobre el cálculo de raíces y la factorización: al dividir entre la expresión \(x-a\), si el resto es 0, habrás encontrado la solución \(x=a\).

Vas a repasarlo con este ejemplo, en el cual se divide utilizando el método de Ruffini.

Ejemplo: calcula las raíces de la ecuación \(x^3-6x^2+11x-6=0\).

### Paso 1: ordena y escribe todos los coeficientes

Coloca los coeficientes de la ecuación en línea, ordenados por su grado, de mayor a menor.

En el caso de que algún coeficiente sea 0, inclúyelo.

Observa que habrá cuatro coeficientes si es de grado 3.

### Paso 2: elige un divisor del término independiente

Deja una fila debajo para las operaciones y enmárcalas con dos líneas, a modo de caja.

Por fuera, donde está el círculo rojo, escribe el número que puede ser solución (raíz).

Prueba con los divisores del término independiente, en este caso del -6: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Empieza por el número 1. Recuerda que estás dividiendo entre \(x-1\), si el resto es 0 habrás encontrado la solución \(x=1\).

### Paso 3: escribe el primer coeficiente

Coloca el primer término en la parte inferior (tal y como se indica), sin realizar ningún cálculo.

Has obtenido el primer coeficiente del divisor.

### Paso 4: multiplica y suma

Multiplica el número que colocaste a la izquierda por el número que acabas de colocar en la parte inferior (ambos en un círculo rojo), coloca el resultado en el círculo verde y suma esa columna.

Has obtenido el segundo coeficiente del divisor, -5, sitúalo debajo.

### Paso 5: repite el paso 4

Repite el paso anterior hasta completar todos los coeficientes.

En este caso, como el último número obtenido en la parte inferior (el resto) es 0, la división es exacta y has encontrado una solución; \(x=1\).

Si el último número no fuese un cero, tendrías que probar con otros divisores de -6.

Si ninguno de ellos tiene de resto 0, no podrás resolver la ecuación por este método.

### Paso 6: repite los pasos 1 a 5

Repite el algoritmo con el nuevo polinomio: \(x^2-5x+6\).

Prueba con algún divisor de 6, buscando el resto 0.

Como puedes ver en la imagen, el 2 lo cumple.

La división es exacta y has encontrado la solución; \(x=2\).

El cociente es \(x-3\).

Puedes parar aquí, o seguir dividiendo entre \(x-3\); obviamente, el cociente es 1 y el resto es 0.

Las soluciones de la ecuación son los números que aparecen en el lateral izquierdo, \(x=1\), \(x=2\) y \(x=3\).

La factorización de la ecuación es \((x-1)(x-2)(x-3)=0\).

### Parada técnica en el paso 5

Una vez obtenido el primer cociente, la ecuación factorizada es:

\((x^3-6x^2+11x-6)=(x-1)(x^2-5x+6)=0\).

El segundo factor es una expresión de segundo grado.

Como ya viste en 3.3, \((x^2-5x+6)=0\) se puede resolver directamente utilizando una fórmula:

\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4·1·6}}{2·1}\)

Tú decides cuál es la mejor forma de obtener las soluciones, usando la fórmula o continuando la división por Ruffini.

## El término independiente es d = 0

Si el término independiente es cero, puedes sacar factor común x, que aporta la solución \(x=0\).

El otro factor es de segundo grado que ya podrás resolver por el método anterior.

### Sacar factor común x

- Ejemplo 1: para resolver la ecuación \(x^3-2x^2=0\), saca factor común \(x^2(x-2)=0\), las soluciones son \(x=0\) y \(x=2\).
- Ejemplo 2: para resolver la ecuación \(x^3-x=0\), saca factor común \(x(x^2-1)=0\), una solución es \(x=0\); para calcular las otras dos soluciones, resuelve la ecuación de segundo grado \(x^2-1=0\); se trata de un producto notable, por lo que se deducen fácilmente los dos resultados: \(x=1\) y \(x=-1\).

# Calibrando...

Para calibrar el escudo térmico y lograr la regulación automática de la temperatura de la nave, los sistemas informáticos han generado varias ecuaciones.

Recuerda que, para que los sensores funcionen correctamente, los valores deben oscilar entre -1 y 20 grados centígrados.

Elige una de estas tres opciones:

# Opción A. Explorar

\(x^3+4x^2+x-6=0\)

1. Resuelve la ecuación. Las soluciones de la ecuación son: \(x_1\)= Rellenar huecos (1):JXUwMDc1JXUwMDFl , \(x_2\)= Rellenar huecos (2):JXUwMDc1JXUwMDFm y \(x_3\)= Rellenar huecos (3):JXUwMDY5 (indícalas de menor a mayor).
2. Identifica qué solución/soluciones pueden ser válidas en el contexto: \(x\)= Rellenar huecos (4):JXUwMDY5
3. Justifica tu elección. La solución \(x\)= Rellenar huecos (5):JXUwMDY5 es válida por estar entre Rellenar huecos (6):JXUwMDc1JXUwMDFj y Rellenar huecos (7):JXUwMDZhJXUwMDAy grados.

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# Opción B. Analizar

\(3x^3+x^2+x+5=2x^3-3x^2+11\)

1. Resuelve la ecuación. Las soluciones de la ecuación son: \(x_1\)= Rellenar huecos (1):JXUwMDc1JXUwMDFl , \(x_2\)= Rellenar huecos (2):JXUwMDc1JXUwMDFm y \(x_3\)= Rellenar huecos (3):JXUwMDY5 (indícalas de menor a mayor).
2. Identifica qué solución/soluciones pueden ser válidas en el contexto: \(x\)= Rellenar huecos (4):JXUwMDY5
3. Justifica tu elección. La solución \(x\)= Rellenar huecos (5):JXUwMDY5 es válida por estar entre Rellenar huecos (6):JXUwMDc1JXUwMDFj y Rellenar huecos (7):JXUwMDZhJXUwMDAy grados.

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# Opción C. Desafío

\(2x^3+11x^2+2x=-4x^3+7x+12\)

1. Resuelve la ecuación: las soluciones de la ecuación son: \(x_1\)= Rellenar huecos (1):JXUwMDc1JXUwMDFlJXUwMDFjJXUwMDFk , \(x_2\)= Rellenar huecos (2):JXUwMDc1JXUwMDE5JXUwMDFiJXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (3):JXUwMDY5 (indícalas de menor a mayor. Si alguna de ellas es una fracción, encuentra su fracción irreducible y escríbela de este modo: 3/7).
2. Identifica qué solución/soluciones pueden ser válidas en el contexto: \(x\)= Rellenar huecos (4):JXUwMDY5
3. Justifica tu elección. La solución \(x\)= Rellenar huecos (5):JXUwMDY5 es válida por estar entre Rellenar huecos (6):JXUwMDc1JXUwMDFj y Rellenar huecos (7):JXUwMDZhJXUwMDAy grados.

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# Preparado y calibrado

Según los sistemas informáticos, la regulación automática de la temperatura funciona correctamente.

Aun así, debes asegurarte de que esto no vuelve a ocurrir, para ello debes practicar.

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones aplicando el método de Ruffini.

Prueba con la solución entera más pequeña y, a continuación, resuelve la ecuación de segundo grado resultante para obtener las otras dos soluciones:

- \(x^3+6x^2+11x+6=0\)

Rellenar huecos (1):JXUwMDc1JXUwMDFl | 1 | 6 | 11 | 6
--- | --- | --- | --- | ---
sumar | ↓ | -3 | -9 | -6
| Rellenar huecos (2):JXUwMDY5 | Rellenar huecos (3):JXUwMDZi | Rellenar huecos (4):JXUwMDZh | Rellenar huecos (5):JXUwMDY4

La ecuación de segundo grado que tenemos que resolver es: Rellenar huecos (6):JXUwMDY5 \(x^2\)+ Rellenar huecos (7):JXUwMDZi \(x\) + Rellenar huecos (8):JXUwMDZh = 0.

Sus soluciones, ordenadas de menor a mayor, son: \(x_1\)= Rellenar huecos (9):JXUwMDc1JXUwMDFm y \(x_2\)= Rellenar huecos (10):JXUwMDc1JXUwMDFj

- \(x^3-3x^2-6x+8=0\)

Rellenar huecos (11):JXUwMDc1JXUwMDFm | Rellenar huecos (12):JXUwMDY5 | -3 | Rellenar huecos (13):JXUwMDc1JXUwMDFi | Rellenar huecos (14):JXUwMDYw
--- | --- | --- | --- | ---
sumar | ↓ | Rellenar huecos (15):JXUwMDc1JXUwMDFm | 10 | Rellenar huecos (16):JXUwMDc1JXUwMDE1
| Rellenar huecos (17):JXUwMDY5 | Rellenar huecos (18):JXUwMDc1JXUwMDE4 | Rellenar huecos (19):JXUwMDZj | Rellenar huecos (20):JXUwMDY4

La ecuación de segundo grado que tenemos que resolver es: Rellenar huecos (21):JXUwMDY5 \(x^2 \)- Rellenar huecos (22):JXUwMDZk \(x\) + Rellenar huecos (23):JXUwMDZj = 0.

Sus soluciones, ordenadas de menor a mayor, son: \(x_1\)= Rellenar huecos (24):JXUwMDY5 y \(x_2\)= Rellenar huecos (25):JXUwMDZj

- \(x^3-7x+6=0\)

Rellenar huecos (26):JXUwMDc1JXUwMDFl | Rellenar huecos (27):JXUwMDY5 | Rellenar huecos (28):JXUwMDY4 | Rellenar huecos (29):JXUwMDc1JXUwMDFh | Rellenar huecos (30):JXUwMDZl
--- | --- | --- | --- | ---
sumar | ↓ | Rellenar huecos (31):JXUwMDc1JXUwMDFl | Rellenar huecos (32):JXUwMDYx | Rellenar huecos (33):JXUwMDc1JXUwMDFi
| Rellenar huecos (34):JXUwMDY5 | Rellenar huecos (35):JXUwMDc1JXUwMDFl | Rellenar huecos (36):JXUwMDZh | Rellenar huecos (37):JXUwMDY4

La ecuación de segundo grado que tenemos que resolver es: Rellenar huecos (38):JXUwMDY5 \(x^2\)- Rellenar huecos (39):JXUwMDZi \(x\) + Rellenar huecos (40):JXUwMDZh = 0.

Sus soluciones, ordenadas de menor a mayor, son: \(x_1\)= Rellenar huecos (41):JXUwMDY5 y \(x_2\)= Rellenar huecos (42):JXUwMDZh

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# ¿Entrenas un poco más?

Resuelve las siguientes ecuaciones de tercer grado, indicando las soluciones de menor a mayor.

Si la solución de alguna de ellas es una fracción, encuentra su fracción irreducible y escríbela de este modo: 3/7.

## Entrenamiento

\(x^3-x^2-4x+4=0\) \(x^3+4x^2-x-4=0\) \(x^3-9x+x^2-9=0\) \(x^3-3x^2+4=0\) | soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (1):JXUwMDc1JXUwMDFm , \(x_2\)= Rellenar huecos (2):JXUwMDY5 y \(x_3\)= Rellenar huecos (3):JXUwMDZh soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (4):JXUwMDc1JXUwMDE5 , \(x_2\)= Rellenar huecos (5):JXUwMDc1JXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (6):JXUwMDY5 soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (7):JXUwMDc1JXUwMDFl , \(x_2\)= Rellenar huecos (8):JXUwMDc1JXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (9):JXUwMDZi soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (10):JXUwMDc1JXUwMDFj , \(x_2\)= Rellenar huecos (11):JXUwMDZh y \(x_3\)= Rellenar huecos (12):JXUwMDZh

## En acción

\(2x^3-6x^2=x^3-11x+6\) \(3x^3-5x^2=2x^3-2x-8\) \(2x^3-7x=x^3+6\) \(x^3+5=5x^2+x\) | soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (13):JXUwMDY5 , \(x_2\)= Rellenar huecos (14):JXUwMDZh y \(x_3\)= Rellenar huecos (15):JXUwMDZi soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (16):JXUwMDc1JXUwMDFj , \(x_2\)= Rellenar huecos (17):JXUwMDZh y \(x_3\)= Rellenar huecos (18):JXUwMDZj soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (19):JXUwMDc1JXUwMDFm , \(x_2\)= Rellenar huecos (20):JXUwMDc1JXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (21):JXUwMDZi soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (22):JXUwMDc1JXUwMDFj , \(x_2\)= Rellenar huecos (23):JXUwMDY5 y \(x_3\)= Rellenar huecos (24):JXUwMDZk

## Desafío

\(2x^3-9x^2+7x+6=0\) \(3x^3-11x^2-6x+8=0\) \(6x^3+21x-25x^2+10=0\) \(6x^3-11x+6-x^2=0\) | soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (25):JXUwMDc1JXUwMDFjJXUwMDFlJXUwMDFk , \(x_2\)= Rellenar huecos (26):JXUwMDZh y \(x_3\)= Rellenar huecos (27):JXUwMDZi soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (28):JXUwMDc1JXUwMDFj , \(x_2\)= Rellenar huecos (29):JXUwMDZhJXUwMDFkJXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (30):JXUwMDZj soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (31):JXUwMDc1JXUwMDFjJXUwMDFlJXUwMDFj , \(x_2\)= Rellenar huecos (32):JXUwMDZh y \(x_3\)= Rellenar huecos (33):JXUwMDZkJXUwMDFhJXUwMDFk soluciones: \(x_1\)= Rellenar huecos (34):JXUwMDc1JXUwMDFlJXUwMDFjJXUwMDFk , \(x_2\)= Rellenar huecos (35):JXUwMDZhJXUwMDFkJXUwMDFj y \(x_3\)= Rellenar huecos (36):JXUwMDY5

## Piensa y resuelve

Durante la preparación de la base en la Luna, el equipo debe organizar los módulos habitables. El número de módulos debe cumplir la ecuación:

\(8x^3-7x^2+9=4x^3+x^2+15x\)

Ten en cuenta que el número de módulos no puede ser una cantidad fraccionaria.

El número de módulos que debe organizar el equipo es Rellenar huecos (37):JXUwMDZi .

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