Configura la iluminación
Diseña
Para el concierto, disponéis de una barra con tres focos LED idénticos.
La mesa de mezclas permite programar diferentes escenas, eligiendo distinto número de focos que luego se encienden o se apagan.
¿De cuántas formas distintas podéis organizar esta iluminación?
Pista: primero elige cuántos focos vas a utilizar y luego cuántos están encendidos.
El primer caso sería no elegir ninguno, el segundo sería elegir uno y encenderlo o apagarlo, etc.
Monta
Para no perderte con los casos, tienes que seguir un método de organización, vas a probar usando un triángulo.
Para ordenar resultados, antes hay que ponerlos de forma abreviada usando, por ejemplo, una letra para cada opción.
Puedes llamar a los focos A, B y C. La letra, tal cual, indica que el foco está encendido y la letra con una barra superior, indica que está apagado.
Ya te habrás dado cuenta de que describir estos casos es complicado, pero aplicando técnicas numéricas lo resolverás paso a paso.
Cuenta
El siguiente paso es contar esos resultados.
- Asigna a cada caso su recuento; cuando haya una opción pones un 1, si hay dos pones un 2 y así sucesivamente.
- Además, cambia "foco" por "fila".
Este es el resultado:
Para responder a esa pregunta piensa cómo sería el problema si hay cuatro focos.
Modeliza
Es el momento de descubrir la regla lógica que sigue este triángulo de números.
Si ya calculaste la fila 4, entonces puedes ver que cada número es el resultado de sumar los dos que tiene encima:
Generaliza
Aunque podrías seguir sumando números, una y otra vez, para completar las filas, lo más práctico es recurrir a alguna fórmula.
¿Recuerdas lo visto en el apartado 3.3. Organiza tus notas?
1. El número factorial: se escribe con un signo de exclamación \( n! \) y consiste en multiplicar un número por todos los naturales anteriores hasta llegar al 1. Es fundamental para organizar las configuraciones de la mesa de mezclas.
\[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 \]
2. El número combinatorio: es la fórmula que genera cada término del triángulo. Se representa como \( \binom{n}{k} \), donde \( n \) es el número de focos totales y \( k \) los que decidís encender:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Aplica
Cada número del triángulo se llama número combinatorio y se escribe \( \binom{n}{k} \).
- n: El número de la fila (total de focos disponibles).
- k: La posición en la fila (cuántos focos eliges encender).
La fórmula para hallar cualquier número del triángulo es:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Por ejemplo, si vuestro equipo tiene 6 focos (\( n=6 \)) y queréis saber cuántas formas hay de elegir dos (\( k=2 \)) para encender, aplicad la fórmula:
\[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} \]
Reflexiona...
¿De cuántas formas puedes elegir dos para apagar? ¿Por qué?
Apoyo visual
La historia del triángulo
Al triángulo anterior de números combinatorios, se le llama de distintas formas:
Triángulo de Tartaglia: en honor al italiano Niccolò Fontana Tartaglia, quien descubrió cómo generar estos números en el siglo XVI.
Triángulo de Pascal: por el francés Blaise Pascal, quien, un siglo después, modelizó todas sus propiedades matemáticas en un famoso tratado.
En la imagen puedes ver la máquina que creó en 1692, con solo 19 años, para hacer cálculos, la pascalina.
Otra decisión a tomar cuando coloques las luces será su posición: pueden estar en fila o formando figuras: triángulos, cuadrados, pentágonos...
Imagina que tienes que almacenar objetos cilíndricos o esféricos. ¿Cómo lo harías?
En grupo, tenéis que estudiar al menos dos formas distintas de apilar objetos esféricos o cilíndricos.
La idea de trabajar con dos opciones está detrás de muchas situaciones de la vida real, por ejemplo, en competiciones deportivas, en juegos...