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3.7. Controla el interés

¡Money! El préstamo

Personas actuando y parte del público.Imagina que para montar el escenario de tu concierto de rock necesitas financiar un equipo de sonido valorado en 6000 €.

La empresa te ofrece un trato: pagarás un 4 % de interés simple anual durante los próximos 3 años.

¿Cuál será el coste final del equipo teniendo en cuenta ese préstamo?

Datos

Identifica los datos en el enunciado:

  • Ci = 6000 € (Capital inicial)
  • t = 3 años (Tiempo)
  • r = 4 % (Rédito anual)

¿Cómo aplicas la proporcionalidad?

El rédito del 4 % significa que por cada 100 € pagas 4 €.

Si lo llevas a la unidad: \(\dfrac{4}{100}=0,04\). Así, calculas cuánto pagas por cada euro prestado.

¿Cómo aplicas las progresiones?

En el interés simple, la cantidad que se suma cada año es constante, como ocurre con las progresiones aritméticas:

Interés anual: \(6000\cdot0,04=240\) €; 

  • Año 1: \(6000+240=6240\) €
  • Año 2: \(6240+240=6480\) €
  • Año 3: \(6480+240=6720\) €

Observa que esa cantidad fija que se suma siempre es d = \(C_{i}\cdot r\).

Utilizando la fórmula de la progresión aritmética:

\(C_{f}=6000+240\cdot 3=6720\) €

¡Money, money! La inversión

Dinero al lado de dos gráficas, una ascendente y otra descendente.Supón que, una vez terminado el festival, decidís no gastar los beneficios del concierto, que ascienden a 4000 €.

En su lugar, los vais a reinvertir en un fondo que os ofrece un 10 % de interés compuesto anual durante 3 años.

¿Cuánto dinero tendréis al final?

Datos

Identifica los datos en el enunciado:

  • Ci = 4000 € (Capital inicial)
  • t = 3 años (Tiempo)
  • r = 10 % (Rédito anual)

¿Cómo aplicas la proporcionalidad?

El rédito del 10 % significa que por cada 100 € pagas 10 €.

Si lo llevas a la unidad: \(\dfrac{10}{100}=0,1\). Así, calculas cuánto pagas por cada euro prestado.

¿Cómo aplicas las progresiones?

En el interés compuesto, la cantidad por la que se multiplica cada año es constante, como ocurre con las progresiones geométricas:

En este caso: \(1+\dfrac{10}{100}=1,1\).

  • Año 1: el capital final al terminar el primer año es: \(C_{f}=4000 \cdot (1,1)^1 = 4400\) €.
  • Año 2: el capital final tras el segundo año es: \(C_{f}=4000 \cdot (1,1)^2 = 4840\) €.
  • Año 3: para el tercer año, el capital final acumulado para el disco sería: \(C_{f}= 4000 \cdot (1,1)^3 = 5324\) €.

El capital final aumenta siguiendo una progresión geométrica de razón \(1+\dfrac{r}{100}\).

¡Money, money, money! ¡Pon interés!

Patrocinio de instrumentos

Instrumentos de percusiónEl festival recibe 3 000 € al 5 % de interés simple anual para comprar instrumentos.

Completa estas frases, una vez leído el apartado anterior:

  • Cada año, el patrocinio genera unos intereses fijos de €.
  • Este crecimiento sigue una progresión , ya que la diferencia entre periodos es constante.
  • Existe una relación de proporcionalidad entre el tiempo que el dinero está en la cuenta y el interés obtenido.

Inversión en sonido

Altavoz inalámbricoSe invierten 10 000 € al 6 % de interés compuesto anual para utilizar en próximos festivales para la compra de material de sonido.

Completa estas frases, una vez leído el apartado anterior:

  • El capital final al terminar el primer año será de €.
  • Esta situación se modeliza mediante una progresión .
  • La razón de la progresión, que permite calcular el capital del año siguiente, es de .
  • Al aplicar el interés sobre el capital acumulado, el crecimiento total es de tipo .

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¿Simple o compuesto?

Lee el texto y completa los números/datos que faltan.

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E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%E7%E6%FA%FD%E0%B0%A8%B0%D3%E7%E6%FD%E0%7F%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%DD%FC%FE%EB%C1%F3%E4%F7%D3%E7%E6%FD%B0%A8%B0%C6%E7%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E1%F7%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0s%B2%F6%F7%E1%E2%E7%7B%E1%B2%F6%F7%B2%F1%F3%F6%F3%B2%E2%E0%F7%F5%E7%FC%E6%F3%BC%B2%C1%FD%FE%FD%B2%E2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%F8%E7%F5%F3%E0%B2%E7%FC%F3%B2%E4%F7%E8%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%F3%E4%F7%D3%E7%E6%FD%B0%A8%B0%C6%E7%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E1%F7%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0s%B2%F3%E7%E6%FD%FFs%E6%FB%F1%F3%FF%F7%FC%E6%F7%B2%F6%F7%E1%E2%E7%7B%E1%B2%F6%F7%B2%F1%F3%F6%F3%B2%E2%E0%F7%F5%E7%FC%E6%F3%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%F7%E4%F7%E0%F3%FE%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%C2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0%B2%FE%F3%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E6%F3%FC%E6%F3%E1%B2%E4%F7%F1%F7%E1%B2%F1%FD%FF%FD%B2%E3%E7%FB%F7%E0%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%CB%FD%E7%DE%F3%E1%E6%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%DE%F3%B2h%FE%E6%FB%FF%F3%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%F6%F3%B2%F7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%F1%E6%FB%E6%EB%D1%FD%FF%E2%FE%EB%B0%A8%B0%CB%F3%B2%FA%F3%E1%B2%E0%F7%F3%FE%FB%E8%F3%F6%FD%B2%F7%E1%E6%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C2%FE%F3%EB%C1%F7%E4%F7%E0%F3%FE%C6%FB%FF%F7%E1%B0%A8%B0%C2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%E0%F7%F3%FE%FB%E8%F3%E0%B2%F7%E1%E6%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%F1%E7%F3%FC%E6%F3%E1%B2%E4%F7%F1%F7%E1%B2%E3%E7%FB%F7%E0%F3%E1%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D1%FE%FD%E1%F7%B0%A8%B0%D1%F7%E0%E0%F3%E0%B0%BE%B0%FF%E1%F5%DE%FD%F3%F6%FB%FC%F5%B0%A8%B0%D1%F3%E0%F5%F3%FC%F6%FD%BC%B2%D7%E1%E2%F7%E0%F7%BE%B2%E2%FD%E0%B2%F4%F3%E4%FD%E0%BC%BC%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C2%FD%FB%FC%E6%E1%B0%A8%B0%E2%E7%FC%E6%FD%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%E7%F6%FB%FD%B0%A8%B0%D3%E7%F6%FB%FD%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%FD%FE%E7%E6%FB%FD%FC%B0%A8%B0%C1%FD%FE%E7%F1%FBa%FC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C6%E0%EB%B0%A8%B03%C2%E0%E7%F7%F0%F3%B2%FD%E6%E0%F3%B2%E4%F7%E8%B3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D1%FA%F7%F1%F9%B0%A8%B0%D1%FD%FF%E2%E0%E7%F7%F0%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D7%FC%F6%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%DA%F3%E1%B2%E6%F7%FC%FB%F6%FD%B2%B7%E1%B2%F3%F1%FB%F7%E0%E6%FD%E1%B2%EB%B2%B7%F6%B2%F7%E0%E0%FD%E0%F7%E1%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D7%FC%F6%C6%FB%FF%F7%B0%A8%B0%D7%FE%B2%E6%FB%F7%FF%E2%FD%B2%FA%F3%B2%F4%FB%FC%F3%FE%FB%E8%F3%F6%FD%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D5%F3%FF%F7%D7%FC%F6%B0%A8%B0%DA%F3%E1%B2%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%F6%FD%B2%FE%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C7%FC%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F7%F6%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%FC%FD%B2%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%F6%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%E7%F1%F1%F7%E1%E1%F4%E7%FE%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%E1%E7%E2%F7%E0%F3%F6%F3%BC%B2%C2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%A8%B2%B7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C7%FC%E1%E7%F1%F1%F7%E1%E1%F4%E7%FE%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%FC%FD%B2%E1%E7%E2%F7%E0%F3%F6%F3%BC%B2%C2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%A8%B2%B7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C6%EB%E2%F7%D5%F3%FF%F7%B0%A8%B0%D1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%B0%EF%EF

El festival del año anterior tuvo un superávit de 2500 €.

Decidís invertirlo al 4 % de interés compuesto anual durante 4 años.

Completa la siguiente tabla de crecimiento del fondo (2500 € al 4 % de interés compuesto):

Año Capital Inicial Capital Final
1 @@2500@@ € @@2600@@ €
2 @@2600@@ € @@2704@@ €
3 @@2704@@ € @@2812,16@@ €
4 @@2812,16@@ € @@2924,65@@ €
  • La razón de esta progresión geométrica es @@1,04@@.
  • Si fuera interés simple, el capital final, después de los 4 años, sería de @@2900@@ €.
  • La diferencia ganada gracias al interés compuesto es de @@24,65@@ €.
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We are the champions

¿Reconoces esta canción? Habla de luchar hasta el final y a vuestro equipo ya le falta poco para completar el camino, ¡sois campeones y campeonas!

La letra de la canción

He pagado mis deudas, vez tras vez.

He cumplido mi condena, pero no cometí ningún crimen.

Y errores graves... he cometido unos cuantos.

He tenido mi ración de arena lanzada a mi cara, pero he salido adelante.

Y necesitamos seguir y seguir y seguir...

ESTRIBILLO

Somos los campeones, amigos míos,

Y seguiremos luchando hasta el final.

Somos los campeones, somos los campeones.

No hay tiempo para perdedores, porque nosotros somos los campeones... del mundo.

El camino del esfuerzo

Freddie Mercury dice en la canción que ha pagado sus deudas. Imagina que en su primer año de carrera pagó 2000 € de deudas, y que cada año siguiente, gracias a su esfuerzo constante, pudo pagar 500 € más que el año anterior.

  1. El primer término de la progresión es a1 = €.
  2. La diferencia es d = 5 €.
  3. El término general de esta progresión es an = + (n-1) · .
  4. En el año 10 pagó a10 = + · € = €.
  5. El total de dinero pagado tras esos 10 años de carrera es S10 = (2000 + ) · / 2 = €.

El éxito mundial

Cuando Queen lanzó "We Are the Champions", el éxito fue explosivo.

Supón que el primer día la escucharon 1000 personas y que, gracias al "boca a boca", cada día que pasaba el número de oyentes se triplica respecto al día anterior.

    1. El primer término de la progresión es a1 = personas.
    2. La razón r de esta progresión es r = .
    3. El término general de esta progresión es an =  · (n-1) personas.
    4. En el día 6 escucharán la canción a6 =  · ( ) = personas.
    5. En total escucharon la canción los 6 días:
S6 = · ( - 1) = = personas.

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