Árbol de contactos
Difusión
La persona encargada de la difusión del concierto utiliza varias vías de comunicación para realizar su trabajo.
Primero te pide que mandes un mensaje a tus dos mejores amigas y que estas, a su vez, se lo manden a otras dos, y así sucesivamente.
Al cabo de 15 mensajes, ¿a cuántas personas se lo habrás transmitido?
¿Lo sabrán muchas personas o pocas?
Estas preguntas se pueden responder matemáticamente, conociendo las sucesiones geométricas.
El patrón
Cada elemento tiene un orden dentro de la sucesión, este orden se utiliza para encontrar el patrón, la fórmula que ayuda a contar las personas que reciben el mensaje:
| Orden del mensaje | N.º de personas receptoras | Patrón |
|---|---|---|
| 1.º | 2 | multiplicar por 2 |
| 2.º | 4 | 2 · 2 |
| 3.º | 8 | 4 · 2 |
| ... | ... | ... |
| n.º | an |
an = 2 · 2n-1 |
| Relación por recurrencia: "El anterior por dos" | an = an-1 · 2 | |
Observa que, si representas, dando valores, la fórmula an = 2 · 2n-1, obtienes una curva de puntos que van aumentando de forma muy rápida a causa del exponente, por eso se dice que crece de forma exponencial.
Modeliza
Observa los términos que tienes:
⇒ a1 = 2 personas.
⇒ a2 = 4 = 2 · 2 = a1 · 2; pero también puedes escribirlo como a2 = a1 · 21
⇒ a3 = 8 = 4 · 2 = a2 · 2; o también a3 = a1 · 2 · 2 = a1 · 22
⇒ a4 = 16 = 8 · 2 = a3 · 2; o también a4 = a1 · 2 · 2 · 2 = a1 · 23
Fíjate que an = an-1 · 2, se trata de una sucesión geométrica, de razón r = 2.
Su término general es de la forma: an = a1 · rn-1
Para saber a cuántas personas se lo vas a contar en el mensaje número 15 calcula el término n = 15:
a15 = a1 · r(15 - 1) = 2 · 214 = 2 · 16 384 = 32 768 personas conocerían ya la celebración del concierto.
Generaliza
Una sucesión o progresión geométrica es aquella en la que, para hallar un término, se le multiplica un número fijo, r, llamado razón, al término anterior.
Es decir: an = an-1 · r donde r es la razón.
Como:
- a2 = a1 · r
- a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r2
- a4 = a3 · r = a1 . r2 · r = a1 · r3 , se puede deducir la expresión del término general de una sucesión geométrica:
an = a1 · rn-1
¡Todas al exponente!
Como la pregunta es ¿Cuántas personas lo sabrán al cabo de 15 iteraciones?, se está pidiendo la suma hasta el término 15 de dicha sucesión, es decir,
la suma de n términos consecutivos de una sucesión geométrica es:
Sn = a1 · (rn - 1) / (r - 1)
donde a1 es el primer término, r la razón y n la cantidad de términos que se suman.
¿Lo sabrán muchas o pocas personas? Sí, lo sabrán muchísimas personas en tan solo 15 iteraciones.
Apoyo visual
Buscando respuestas: la fórmula de la suma
Para que comprendas de dónde sale la fórmula de la suma de los primeros n términos, puedes seguir este desarrollo paso a paso:
Considera una progresión con primer término \( a_1 \) y razón \( r \). La suma total \( S_n \) se expresa como:
\[ S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \dots + a_1r^{n-1} \]
Ahora, aplica el siguiente truco algebraico: multiplicando toda la igualdad anterior por la razón \( r \), obtienes una nueva expresión desplazada:
\[ r \cdot S_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \dots + a_1r^n \]
Al restar la segunda ecuación de la primera (\( S_n - r \cdot S_n \)), notarás que los términos intermedios se cancelan entre sí.
Visualmente ocurre lo siguiente:
\[ S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1r^n \]
Y por último, saca factor común y aísla la parte que te interesa, (\( S_n \)):
\[ S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n) \]
Al despejar, obtienes la fórmula general:
\[ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
Nota: Recuerda que esta fórmula es válida siempre que \( r \neq 1 \).
Utilizas el correo electrónico.
Utilizas también 2 vídeos promocionales.
También repartes carteles entre la gente y las tiendas de tu ciudad.
Debido a la gran difusión que has hecho, el último día de la preventa se espera que el número de personas en la web se triplique cada hora.
Tu centro abre una nueva cuenta en redes sociales para el concierto.
