Coreografía
A la izquierda hay dibujado un patrón que uno de los grupos participantes en el festival utiliza durante su actuación.
En la primera canción bailan 5 personas formando una cruz, en la segunda canción aparecen 9 y, en la tercera, 13.
¿Cuántas personas saldrían bailando si tocaran 15 canciones?
¿Cómo tendría que ser el escenario? ¿muy grande?
Estas preguntas se pueden responder matemáticamente, conociendo las sucesiones.
Sucesión
Una sucesión es una secuencia ordenada e ilimitada de números.
El número de personas que baila en cada canción es una sucesión.
El número de la canción es el orden.
Se llama término de una sucesión a cada elemento que la forma y se denota con una letra y un subíndice que indica su posición en la sucesión: a1, a2, a3..., an.
Se llama término general, an, al que contiene la fórmula (el patrón de formación) de la sucesión y que permite relacionar un término con su posición.
Existen muchos tipos de sucesiones, algunas ya las conoces, como la sucesión de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, …}
Otro ejemplo es la sucesión de los números factoriales:
El patrón
Cada elemento tiene un orden dentro de la sucesión, este orden se utiliza para encontrar el patrón, la fórmula que ayuda a contar las personas que están en escena:
Sucesión de la coreografía
| Orden de la canción |
N.º de personas |
Patrón |
| 1.º |
5 |
Sumar 4 |
| 2.º |
9 |
5 + 4 |
| 3.º |
13 |
9 + 4 = 5 + 4 + 4 = 5 + 2 · 4 |
| ... |
... |
... |
| n.º |
an |
an = 5 + (n-1) · 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1
|
| Relación por recurrencia: "El anterior más cuatro" |
an = an-1 + 4 |
Observa que si representas, dando valores, la fórmula an = 4n + 1, obtienes una recta de puntos que van aumentando, por eso se dice que crece de forma lineal.
Modeliza
Los términos que te ayudarán a modelizar, a encontrar el patrón que sigue el número de personas que hay en el escenario son: el orden de la canción (n), la cantidad del primer grupo (a1) y la cantidad de personas que se van añadiendo (d).
- a1 = 5 personas.
- a2 = 9 = 5 + 4 = a1 + 4; pero también puedes verlo como a2 = a1 + 1 · 4
- a3 = 13 = 9 + 4 = a2 + 4; o también a3 = a1 + 4 + 4 = a1 + 2 · 4
- a4 = 17 = 13 + 4 = a3 + 4; o también a4 = a1 + 4 + 4 + 4 = a1 + 3 · 4
Fíjate que an = an-1 + 4, se trata de una sucesión aritmética, o también progresión aritmética.
Al 4 se le llama diferencia, d = 4.
A esta forma de definir la sucesión se le llama ley de recurrencia, porque cada número se construye recurriendo a los números anteriores.
El término general es: an = a1 + (n-1) · 4.
Cualquier progresión aritmética tiene por término general an = a1 + (n-1) · d.
Como la pregunta es ¿Cuántas personas saldrían si tocaran 15 canciones?, se está pidiendo el término 15 de dicha sucesión, es decir:
a15 = a1 + (15 - 1) · d = 5 + 14 · 4 = 5 + 56 = 61 personas saldrían formando la cruz.
¿Cómo tendría que ser el escenario? ¿muy grande? Sí, el escenario tendría que ser bastante grande.
Si te gustan estos patrones en esta web puedes encontrar muchos más: Visual Patterns.
Pero, ¡cuidado!, no todos son de progresiones aritméticas.
Generaliza
Una sucesión o progresión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene sumando un número fijo, d, llamado diferencia, al término anterior.
Es decir: an = an-1 + d donde d es la diferencia.
Cómo:
- a2 = a1 + d
- a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
- a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d se puede deducir que la expresión del término general de una sucesión aritmética:
an = a1 + (n-1)d
¡Todas en fila!
¿Y si quisieras saber cuántas personas salieron en la primera canción, más las de la segunda, más las de la tercera... y así hasta la canción número quince?
Entonces necesitas saber un método para calcular esta suma rápidamente.
Un ilustre matemático, Gauss, lo encontró cuando era un niño.
Vas a visualizar su método cambiando la forma de la coreografía.
Para las tres primeras canciones, coloca las personas formando filas, una detrás de otra:
Ahora duplícalas, voltéalas, y únelas formando un rectángulo:
Puedes saber cuántas personas hay usando el área del rectángulo, el resultado que buscas es la mitad.
La base es la suma del primer grupo (a1 = 5) más el último grupo (a3 = 13), y la altura es la cantidad de canciones; n = 3.
Por tanto, la suma es: S3 = (5 + 13) · 3/2 = 27.
En general, la suma de los n primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética es Sn = (a1 + an) · n/2; donde a1 es el primer término, an el último y n la cantidad de términos que se suman.
La persona del grupo principal que toca la guitarra da en cada canción {d} saltos más que en la anterior para animar al público.
El grupo de baile realiza {a} pasos de la coreografía en la primera canción.