La fuerza del rayo ⚡︎
AC⚡︎DC ¡Alto voltaje!
Una de las bandas más famosas del rock fue el grupo AC⚡︎DC.
La idea del nombre se tomó de la etiqueta de una máquina de coser. Pensaron que las iniciales "AC" (corriente alterna) y "DC" (corriente continua), separadas por un rayo, podría representarles.
¿Qué opinas? ¿Te parece que la corriente eléctrica es una magnitud representativa del mundo del rock?
Pues detrás de ella hay relaciones importantes, directas e inversas: el voltaje, la resistencia...
El ensayo ⚡︎
Una de vuestras tareas es organizar el montaje del escenario y los tiempos de los ensayos.
Para ello vais a trabajar con varias magnitudes: número de grupos, número de canciones, tiempo de ensayo diario, número de días...
La relación entre ellas no es siempre la misma.
Tendrás que ir comparando de dos en dos, manteniendo las demás sin cambios, para comprobar si son directas (D⚡︎) o inversas (I⚡︎).
DDD⚡︎
De otros festivales sabéis que en la sala de música del centro 2 grupos de rock pueden preparar 30 canciones para el festival ensayando 3 horas al día durante 5 días.
Si invitas a un nuevo grupo, los 3 grupos pueden ensayar 2 horas al día durante 7 días. ¿Cuántas canciones van a tener listas (manteniendo el mismo ritmo de trabajo por grupo y por hora)?
Solución:
| Magnitudes ⇒ | N.º de grupos | N.º de canciones | Tiempo de ensayo diario | N.º de días |
|---|---|---|---|---|
| Situación 1 | 2 | 30 | 3 h/día | 5 |
| Situación 2 | 3 | x | 2 h/día | 7 |
- Comparando (N.º de grupos y N.º de canciones) ⇒ Directa (D⚡︎)
- Comparando (Tiempo de ensayo diario y N.º de canciones) ⇒ Directa (D⚡︎)
- Comparando (N.º de días diario y N.º de canciones) ⇒ Directa (D⚡︎)
La solución se obtiene de comparar la razón de la incógnita, \(\dfrac{30}{x}\) con todas las demás.
\(\dfrac{30}{x} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{7}\)
\( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{30}{x} \Rightarrow \dfrac{30}{42} = \dfrac{30}{x} \Rightarrow x = 42 \)
Con 3 grupos ensayando 2 horas al día, en 7 días van a tener listas 42 canciones.
II⚡︎
Para montar el escenario del festival en 5 días, se necesitan 4 miembros del personal técnico trabajando 6 horas al día.
Te acaban de avisar de la empresa de que hay una persona de baja, pero te indican que no hay por qué preocuparse, ya que trabajarán 8 horas al día y así tardarán el mismo tiempo. ¿Será cierto?
Solución:
| Magnitudes ⇒ | N.º de días | N.º de personas | Tiempo de trabajo diario |
|---|---|---|---|
| Situación 1 | 5 | 4 | 6 h/día |
| Situación 2 | x | 3 | 8 h/día |
- Comparando (N.º de personas y N.º de días) ⇒ Inversa (I⚡︎)
- Comparando (Tiempo de trabajo diario y N.º de días) ⇒ Inversa (I⚡︎)
La solución se obtiene de comparar la razón de la incógnita, \(\dfrac{5}{x}\) con todas las demás.
Si alguna pareja de magnitudes es inversa, la razón que no tiene incógnita se invierte para que sea directa.
\(\dfrac{5}{x} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{6}\)
Es interesante simplificar las fracciones antes de hacer los cálculos. \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)
\( \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{x} \Rightarrow 1 = \dfrac{5}{x} \Rightarrow x = 5 \)
Con 3 personas del grupo técnico trabajando 8 horas al día, se tardarán 5 días en montar el escenario, ¡el mismo tiempo!
DII⚡︎
Para montar el escenario de 60 metros cuadrados, necesitas un grupo de personal técnico formado por 4 miembros, trabajando 6 horas al día durante 5 días.
Te acaban de avisar de la empresa de que hay una persona de baja, pero te indican que no hay por qué preocuparse, que van a trabajar 8 horas al día, además se ha realizado una pequeña modificación de la distribución del escenario en el pabellón y ahora va a ocupar 72 metros cuadrados, ¿cuántos días tardarán las 3 personas en montar el escenario?
Solución:
| Magnitudes ⇒ | Área del escenario m2 | N.º de personas | Tiempo de trabajo diario | N.º de días |
|---|---|---|---|---|
| Situación 1 | 60 | 4 | 6 h/día | 5 |
| Situación 2 | 72 | 3 | 8 h/día | x |
- Comparando (Área del escenario y N.º de días) ⇒ Directa (D⚡︎)
- Comparando (N.º de personas y N.º de días) ⇒ Inversa (I⚡︎)
- Comparando (Tiempo de trabajo diario y N.º de días) ⇒ Inversa (I⚡︎)
La solución se obtiene de comparar la razón de la incógnita, \(\dfrac{5}{x}\) con todas las demás.
Si alguna pareja de magnitudes es inversa, la razón que no tiene incógnita se invierte para que sea directa.
\(\dfrac{5}{x} = \dfrac{60}{72} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{6} \)
Es interesante simplificar las fracciones antes de hacer los cálculos.
\(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\) y también \(\dfrac{60}{72} = \dfrac{5}{6}\)
\[ \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{x} \Rightarrow \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{x} \Rightarrow x = 6 \]
Se tardan 6 días en montar un escenario de 72 m2, con 3 personas trabajando 8 horas al día.
Algoritmo de ayuda
Para resolver problemas de proporcionalidad compuesta:
- Identifica las magnitudes que intervienen.
- Ordénalas, con sus datos, poniendo especial atención en la que lleva la incógnita.
- Compara la que lleva la incógnita con cada una de las otras y deja las demás sin cambio para hacer esa comparación.
- Identifica el tipo de proporcionalidad, directa o inversa, que liga a cada magnitud con la de la incógnita.
- Plantea una proporción en la que, en un miembro, está la magnitud de la incógnita y, en el otro, el producto de las razones de todas las demás, pero antes invierte la razón que sea inversa y simplifica.