# 3.4. Organiza el espacio

## Glosario

## Interpolar

Definición:

  Intercalar, rellenar un hueco de forma razonada.

Ejemplo:

  En la película interpolaron varios fotogramas que faltaban.

## Iterar

Definición:

  Repetir con la idea de mejorar o de construir algo.

Ejemplo:

  Para doblar las camisetas del festival, hicieron una cadena e iteraron los pasos hasta conseguir un plegado perfecto.

## Recurrir

Definición:

  Utilizar algo por necesidad o por un motivo concreto.

Ejemplo:

  Recurrió a su tarjeta de crédito para hacer el pago, porque no tenía dinero en efectivo.

# Patrones en el escenario

## Coreografía

A la izquierda hay dibujado un patrón que uno de los grupos participantes en el festival utiliza durante su actuación.

En la primera canción bailan 5 personas formando una cruz, en la segunda canción aparecen 9 y, en la tercera, 13.

¿Cuántas personas saldrían bailando si tocaran 15 canciones?

¿Cómo tendría que ser el escenario? ¿muy grande?

Estas preguntas se pueden responder matemáticamente, conociendo las sucesiones.

## Sucesión

Una sucesión es una secuencia ordenada e ilimitada de números.

El número de personas que baila en cada canción es una sucesión.

El número de la canción es el orden.

Se llama término de una sucesión a cada elemento que la forma y se denota con una letra y un subíndice que indica su posición en la sucesión: a1, a2, a3..., an.

Se llama término general, an, al que contiene la fórmula (el patrón de formación) de la sucesión y que permite relacionar un término con su posición.

Existen muchos tipos de sucesiones, algunas ya las conoces, como la sucesión de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, …}

Otro ejemplo es la sucesión de los números factoriales:

## El patrón

Cada elemento tiene un orden dentro de la sucesión, este orden se utiliza para encontrar el patrón, la fórmula que ayuda a contar las personas que están en escena:

Sucesión de la coreografía
Orden de la canción | N.º de personas | Patrón
--- | --- | ---
1.º | 5 | Sumar 4
2.º | 9 | 5 + 4
3.º | 13 | 9 + 4 = 5 + 4 + 4 = 5 + 2 · 4
... | ... | ...
n.º | an | an = 5 + (n-1) · 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1
Relación por recurrencia: "El anterior más cuatro" | an = an-1 + 4

Observa que si representas, dando valores, la fórmula an = 4n + 1, obtienes una recta de puntos que van aumentando, por eso se dice que crece de forma lineal.

## Modeliza

Los términos que te ayudarán a modelizar, a encontrar el patrón que sigue el número de personas que hay en el escenario son: el orden de la canción (n), la cantidad del primer grupo (a1) y la cantidad de personas que se van añadiendo (d).

- a1 = 5 personas.
- a2 = 9 = 5 + 4 = a1 + 4; pero también puedes verlo como a2 = a1 + 1 · 4
- a3 = 13 = 9 + 4 = a2 + 4; o también a3 = a1 + 4 + 4 = a1 + 2 · 4
- a4 = 17 = 13 + 4 = a3 + 4; o también a4 = a1 + 4 + 4 + 4 = a1 + 3 · 4

Fíjate que an = an-1 + 4, se trata de una sucesión aritmética, o también progresión aritmética.

Al 4 se le llama diferencia, d = 4.

A esta forma de definir la sucesión se le llama ley de recurrencia, porque cada número se construye recurriendo a los números anteriores.

El término general es: an = a1 + (n-1) · 4.

Cualquier progresión aritmética tiene por término general an = a1 + (n-1) · d.

Como la pregunta es ¿Cuántas personas saldrían si tocaran 15 canciones?, se está pidiendo el término 15 de dicha sucesión, es decir:

a15 = a1 + (15 - 1) · d = 5 + 14 · 4 = 5 + 56 = 61 personas saldrían formando la cruz.

¿Cómo tendría que ser el escenario? ¿muy grande? Sí, el escenario tendría que ser bastante grande.

Si te gustan estos patrones en esta web puedes encontrar muchos más: Visual Patterns.

Pero, ¡cuidado!, no todos son de progresiones aritméticas.

## Generaliza

Una sucesión o progresión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene sumando un número fijo, d, llamado diferencia, al término anterior.

Es decir: an = an-1 + d donde d es la diferencia.

Cómo:

- a2 = a1 + d
- a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
- a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d se puede deducir que la expresión del término general de una sucesión aritmética:

an = a1 + (n-1)d

## ¡Todas en fila!

¿Y si quisieras saber cuántas personas salieron en la primera canción, más las de la segunda, más las de la tercera... y así hasta la canción número quince?

Entonces necesitas saber un método para calcular esta suma rápidamente.

Un ilustre matemático, Gauss, lo encontró cuando era un niño.

Vas a visualizar su método cambiando la forma de la coreografía.

Para las tres primeras canciones, coloca las personas formando filas, una detrás de otra:

Ahora duplícalas, voltéalas, y únelas formando un rectángulo:

Puedes saber cuántas personas hay usando el área del rectángulo, el resultado que buscas es la mitad.

La base es la suma del primer grupo (a1 = 5) más el último grupo (a3 = 13), y la altura es la cantidad de canciones; n = 3.

Por tanto, la suma es: S3 = (5 + 13) · 3/2 = 27.

En general, la suma de los n primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética es Sn = (a1 + an) · n/2; donde a1 es el primer término, an el último y n la cantidad de términos que se suman.

## Apoyo visual

Primera forma de ver el patrón: sumar cuatro al anterior.

Segunda forma de ver el patrón: sumar cuatro multiplicado por el lugar que ocupa menos uno.

# Montaje del escenario

# Pregunta

Como ni tú ni tus compañeros y compañeras tenéis práctica en montar escenarios, tardáis 20 minutos en completar el montaje de cada estructura de aluminio.

Después de montar varias, gracias a la experiencia, tardáis 1 minuto menos cada vez que armáis una estructura nueva (d = - 1).

El andamiaje completo tiene 12 estructuras.

¿Cuánto tardáis en montar la última, a12?

# Respuestas

Opción 1

9 min

Opción 2

10 min

Opción 3

8 min

# Retroalimentación

# Solución

1. Correcto
2. Incorrecto
3. Incorrecto

# Pregunta

¿Cuánto tiempo total de montaje debes reservar en el horario del centro para tener el escenario listo, S12?

# Respuestas

Opción 1

2 h

Opción 2

2 h 54 min

Opción 3

2 h 30 min

# Retroalimentación

# Solución

1. Incorrecto
2. Correcto
3. Incorrecto

# Capacidad del escenario

Los distintos grupos que actúan en el concierto tienen distintas coreografías y distinto número de bailarines. Como responsables del escenario necesitáis saber el número de personas que estarán sobre el escenario en cada actuación.

Observad el patrón de cada sucesión y completad los huecos:

a) El primer grupo en actuar seguirá el siguiente patrón: Sale el cantante solo (a1 = 1) y, cada 30 segundos, se les unen 3 bailarines más. Por tanto, el número de personas que hay sobre el escenario cada 30 segundos es:

1, 4, Rellenar huecos (1):JXUwMDZm , 10, 13, ...

b) El número total de personas que habrá en el escenario al final de la canción, si esta dura 4 minutos y medio, será el término Rellenar huecos (2):JXUwMDM2JXUwMDAxJXUwMDE5JXUwMDEzJXUwMDBiJXUwMDAxJXUwMDQz que es a Rellenar huecos (3):JXUwMDYx = Rellenar huecos (4):JXUwMDZhJXUwMDA3 .

c) En la primera canción del segundo grupo el cantante está oculto y, en cada estrofa, se incorporan al escenario 2 bailarines con banderas desde los laterales. Por tanto, el número de banderas que hay sobre el escenario es:

2, 4, 6, Rellenar huecos (5):JXUwMDYw , 10, ...

d) El número total de banderas que habrá en el escenario al final de la canción, si esta consta de 10 estrofas, será el término Rellenar huecos (6):JXUwMDNjJXUwMDhkJXUwMDhhJXUwMDBhJXUwMDA0JXUwMDAy , que es a Rellenar huecos (7):JXUwMDY5JXUwMDAx = Rellenar huecos (8):JXUwMDZhJXUwMDAy .

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# Desgaste del grupo artístico

Como responsable de la organización del festival, resuelve estas situaciones, teniendo en cuenta que se empieza siempre en n = 1.

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La persona del grupo principal que toca la guitarra da en cada canción {d} saltos más que en la anterior para animar al público.

Si en la primera canción da {a} saltos, calcula el número total de saltos S{n} que dará exactamente al cabo de {n} canciones.

El grupo de baile realiza {a} pasos de la coreografía en la primera canción.

Para favorecer el espectáculo y seguir animando al público, en cada canción, añaden {d} pasos más que en la anterior.

Si tocan {n} canciones, calcula el número total de pasos S{n} que realiza el grupo de baile en todo el concierto.

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# ¡Ojo con los dB!

Para animar al público, el técnico de sonido sube el volumen de forma progresiva entre canción y canción. La primera canción suena a 84 dB. Si cada canción sube el volumen 1,5 dB (d = 1,5),

la canción número 12 sonará a Rellenar huecos (1):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAwJXUwMDFjJXUwMDE5 dB.

Pero ¡ojo!, el límite de dB que nos permite el equipo directivo es de 105 dB, por lo que en la canción número Rellenar huecos (2):JXUwMDY5JXUwMDA0 se alcanzará dicho límite.

## Ayuda

Aquí tienes que despejar n en la fórmula general.

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