# 3.7. Controla el interés

# ¡Money! El préstamo

Imagina que para montar el escenario de tu concierto de rock necesitas financiar un equipo de sonido valorado en 6000 €.

La empresa te ofrece un trato: pagarás un 4 % de interés simple anual durante los próximos 3 años.

¿Cuál será el coste final del equipo teniendo en cuenta ese préstamo?

## Datos

Identifica los datos en el enunciado:

- Ci = 6000 € (Capital inicial)
- t = 3 años (Tiempo)
- r = 4 % (Rédito anual)

## ¿Cómo aplicas la proporcionalidad?

El rédito del 4 % significa que por cada 100 € pagas 4 €.

Si lo llevas a la unidad: \(\dfrac{4}{100}=0,04\). Así, calculas cuánto pagas por cada euro prestado.

## ¿Cómo aplicas las progresiones?

En el interés simple, la cantidad que se suma cada año es constante, como ocurre con las progresiones aritméticas:

Interés anual: \(6000\cdot0,04=240\) €;

- Año 1: \(6000+240=6240\) €
- Año 2: \(6240+240=6480\) €
- Año 3: \(6480+240=6720\) €

Observa que esa cantidad fija que se suma siempre es d = \(C_{i}\cdot r\).

Utilizando la fórmula de la progresión aritmética:

\(C_{f}=6000+240\cdot 3=6720\) €

# ¡Money, money! La inversión

Supón que, una vez terminado el festival, decidís no gastar los beneficios del concierto, que ascienden a 4000 €.

En su lugar, los vais a reinvertir en un fondo que os ofrece un 10 % de interés compuesto anual durante 3 años.

¿Cuánto dinero tendréis al final?

## Datos

Identifica los datos en el enunciado:

- Ci = 4000 € (Capital inicial)
- t = 3 años (Tiempo)
- r = 10 % (Rédito anual)

## ¿Cómo aplicas la proporcionalidad?

El rédito del 10 % significa que por cada 100 € pagas 10 €.

Si lo llevas a la unidad: \(\dfrac{10}{100}=0,1\). Así, calculas cuánto pagas por cada euro prestado.

## ¿Cómo aplicas las progresiones?

En el interés compuesto, la cantidad por la que se multiplica cada año es constante, como ocurre con las progresiones geométricas:

En este caso: \(1+\dfrac{10}{100}=1,1\).

- Año 1: el capital final al terminar el primer año es: \(C_{f}=4000 \cdot (1,1)^1 = 4400\) €.
- Año 2: el capital final tras el segundo año es: \(C_{f}=4000 \cdot (1,1)^2 = 4840\) €.
- Año 3: para el tercer año, el capital final acumulado para el disco sería: \(C_{f}= 4000 \cdot (1,1)^3 = 5324\) €.

El capital final aumenta siguiendo una progresión geométrica de razón \(1+\dfrac{r}{100}\).

# ¡Money, money, money! ¡Pon interés!

## Patrocinio de instrumentos

El festival recibe 3 000 € al 5 % de interés simple anual para comprar instrumentos.

Completa estas frases, una vez leído el apartado anterior:

- Cada año, el patrocinio genera unos intereses fijos de Rellenar huecos (1):JXUwMDY5JXUwMDA0JXUwMDA1 €.
- Este crecimiento sigue una progresión Rellenar huecos (2):JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDFiJXUwMDFkJXUwMDE5JXUwMDg0JXUwMDlkJXUwMDFkJXUwMDBhJXUw MDAy , ya que la diferencia entre periodos es constante.
- Existe una relación de proporcionalidad Rellenar huecos (3):JXUwMDNjJXUwMDBkJXUwMDFiJXUwMDE3JXUwMDA2JXUwMDE3JXUwMDE1 entre el tiempo que el dinero está en la cuenta y el interés obtenido.

## Inversión en sonido

Se invierten 10 000 € al 6 % de interés compuesto anual para utilizar en próximos festivales para la compra de material de sonido.

Completa estas frases, una vez leído el apartado anterior:

- El capital final al terminar el primer año será de Rellenar huecos (4):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDEwJXUwMDE2JXUwMDA2JXUwMDAw €.
- Esta situación se modeliza mediante una progresión Rellenar huecos (5):JXUwMDNmJXUwMDAyJXUwMDBhJXUwMDAyJXUwMDg0JXUwMDlkJXUwMDA2JXUwMDFiJXUwMDBhJXUw MDAy .
- La razón de la progresión, que permite calcular el capital del año siguiente, es de Rellenar huecos (6):JXUwMDY5JXUwMDFkJXUwMDFjJXUwMDA2 .
- Al aplicar el interés sobre el capital acumulado, el crecimiento total es de tipo Rellenar huecos (7):JXUwMDNkJXUwMDFkJXUwMDA4JXUwMDFmJXUwMDAxJXUwMDBiJXUwMDBiJXUwMDBkJXUwMDBhJXUw MDA4JXUwMDBk .

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# ¿Simple o compuesto?

Lee el texto y completa los números/datos que faltan.

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E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%E7%E6%FA%FD%E0%B0%A8%B0%D3%E7%E6%FD%E0%7F%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%DD%FC%FE%EB%C1%F3%E4%F7%D3%E7%E6%FD%B0%A8%B0%C6%E7%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E1%F7%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0s%B2%F6%F7%E1%E2%E7%7B%E1%B2%F6%F7%B2%F1%F3%F6%F3%B2%E2%E0%F7%F5%E7%FC%E6%F3%BC%B2%C1%FD%FE%FD%B2%E2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%F8%E7%F5%F3%E0%B2%E7%FC%F3%B2%E4%F7%E8%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%F3%E4%F7%D3%E7%E6%FD%B0%A8%B0%C6%E7%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E1%F7%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0s%B2%F3%E7%E6%FD%FFs%E6%FB%F1%F3%FF%F7%FC%E6%F7%B2%F6%F7%E1%E2%E7%7B%E1%B2%F6%F7%B2%F1%F3%F6%F3%B2%E2%E0%F7%F5%E7%FC%E6%F3%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%F7%E4%F7%E0%F3%FE%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%C2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%E0%B2%FE%F3%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%E6%F3%FC%E6%F3%E1%B2%E4%F7%F1%F7%E1%B2%F1%FD%FF%FD%B2%E3%E7%FB%F7%E0%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%CB%FD%E7%DE%F3%E1%E6%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%DE%F3%B2h%FE%E6%FB%FF%F3%B2%E2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%B2%F5%E7%F3%E0%F6%F3%F6%F3%B2%F7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%F1%E6%FB%E6%EB%D1%FD%FF%E2%FE%EB%B0%A8%B0%CB%F3%B2%FA%F3%E1%B2%E0%F7%F3%FE%FB%E8%F3%F6%FD%B2%F7%E1%E6%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C2%FE%F3%EB%C1%F7%E4%F7%E0%F3%FE%C6%FB%FF%F7%E1%B0%A8%B0%C2%E7%F7%F6%F7%E1%B2%E0%F7%F3%FE%FB%E8%F3%E0%B2%F7%E1%E6%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%F1%E7%F3%FC%E6%F3%E1%B2%E4%F7%F1%F7%E1%B2%E3%E7%FB%F7%E0%F3%E1%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D1%FE%FD%E1%F7%B0%A8%B0%D1%F7%E0%E0%F3%E0%B0%BE%B0%FF%E1%F5%DE%FD%F3%F6%FB%FC%F5%B0%A8%B0%D1%F3%E0%F5%F3%FC%F6%FD%BC%B2%D7%E1%E2%F7%E0%F7%BE%B2%E2%FD%E0%B2%F4%F3%E4%FD%E0%BC%BC%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C2%FD%FB%FC%E6%E1%B0%A8%B0%E2%E7%FC%E6%FD%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D3%E7%F6%FB%FD%B0%A8%B0%D3%E7%F6%FB%FD%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%FD%FE%E7%E6%FB%FD%FC%B0%A8%B0%C1%FD%FE%E7%F1%FBa%FC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C6%E0%EB%B0%A8%B03%C2%E0%E7%F7%F0%F3%B2%FD%E6%E0%F3%B2%E4%F7%E8%B3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D1%FA%F7%F1%F9%B0%A8%B0%D1%FD%FF%E2%E0%E7%F7%F0%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D7%FC%F6%C1%F1%FD%E0%F7%B0%A8%B0%DA%F3%E1%B2%E6%F7%FC%FB%F6%FD%B2%B7%E1%B2%F3%F1%FB%F7%E0%E6%FD%E1%B2%EB%B2%B7%F6%B2%F7%E0%E0%FD%E0%F7%E1%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D7%FC%F6%C6%FB%FF%F7%B0%A8%B0%D7%FE%B2%E6%FB%F7%FF%E2%FD%B2%FA%F3%B2%F4%FB%FC%F3%FE%FB%E8%F3%F6%FD%BC%B0%BE%B0%FF%E1%F5%D5%F3%FF%F7%D7%FC%F6%B0%A8%B0%DA%F3%E1%B2%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%F6%FD%B2%FE%F3%B2%F3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C7%FC%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F7%F6%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%FC%FD%B2%F1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%F6%F3%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C1%E7%F1%F1%F7%E1%E1%F4%E7%FE%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%E1%E7%E2%F7%E0%F3%F6%F3%BC%B2%C2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%A8%B2%B7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C7%FC%E1%E7%F1%F1%F7%E1%E1%F4%E7%FE%D3%F1%E6%FB%E4%FB%E6%EB%B0%A8%B0%D3%F1%E6%FB%E4%FB%F6%F3%F6%B2%FC%FD%B2%E1%E7%E2%F7%E0%F3%F6%F3%BC%B2%C2%E7%FC%E6%E7%F3%F1%FBa%FC%A8%B2%B7%E1%B0%BE%B0%FF%E1%F5%C6%EB%E2%F7%D5%F3%FF%F7%B0%A8%B0%D1%FD%FF%E2%FE%F7%E6%F3%B0%EF%EF

El festival del año anterior tuvo un superávit de 2500 €.

Decidís invertirlo al 4 % de interés compuesto anual durante 4 años.

Completa la siguiente tabla de crecimiento del fondo (2500 € al 4 % de interés compuesto):

Año | Capital Inicial | Capital Final
--- | --- | ---
1 | @@2500@@ € | @@2600@@ €
2 | @@2600@@ € | @@2704@@ €
3 | @@2704@@ € | @@2812,16@@ €
4 | @@2812,16@@ € | @@2924,65@@ €

- La razón de esta progresión geométrica es @@1,04@@.
- Si fuera interés simple, el capital final, después de los 4 años, sería de @@2900@@ €.
- La diferencia ganada gracias al interés compuesto es de @@24,65@@ €.

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# We are the champions

¿Reconoces esta canción? Habla de luchar hasta el final y a vuestro equipo ya le falta poco para completar el camino, ¡sois campeones y campeonas!

## La letra de la canción

He pagado mis deudas, vez tras vez.

He cumplido mi condena, pero no cometí ningún crimen.

Y errores graves... he cometido unos cuantos.

He tenido mi ración de arena lanzada a mi cara, pero he salido adelante.

Y necesitamos seguir y seguir y seguir...

ESTRIBILLO

Somos los campeones, amigos míos,

Y seguiremos luchando hasta el final.

Somos los campeones, somos los campeones.

No hay tiempo para perdedores, porque nosotros somos los campeones... del mundo.

## El camino del esfuerzo

Freddie Mercury dice en la canción que ha pagado sus deudas. Imagina que en su primer año de carrera pagó 2000 € de deudas, y que cada año siguiente, gracias a su esfuerzo constante, pudo pagar 500 € más que el año anterior.

1. El primer término de la progresión es a1 = Rellenar huecos (1):JXUwMDZhJXUwMDAyJXUwMDAwJXUwMDAw €.
2. La diferencia es d = 5 Rellenar huecos (2):JXUwMDY4JXUwMDAw €.
3. El término general de esta progresión es an = Rellenar huecos (3):JXUwMDZhJXUwMDAyJXUwMDAwJXUwMDAw + (n-1) · Rellenar huecos (4):JXUwMDZkJXUwMDA1JXUwMDAw .
4. En el año 10 pagó a10 = Rellenar huecos (5):JXUwMDZhJXUwMDAyJXUwMDAwJXUwMDAw + Rellenar huecos (6):JXUwMDYx · Rellenar huecos (7):JXUwMDZkJXUwMDA1JXUwMDAw € = Rellenar huecos (8):JXUwMDZlJXUwMDAzJXUwMDA1JXUwMDAw €.
5. El total de dinero pagado tras esos 10 años de carrera es S10 = (2000 + Rellenar huecos (9):JXUwMDZlJXUwMDAzJXUwMDA1JXUwMDAw ) · Rellenar huecos (10):JXUwMDY5JXUwMDAx / 2 = Rellenar huecos (11):JXUwMDZjJXUwMDA2JXUwMDEyJXUwMDE1JXUwMDA1JXUwMDAw €.

## El éxito mundial

Cuando Queen lanzó "We Are the Champions", el éxito fue explosivo.

Supón que el primer día la escucharon 1000 personas y que, gracias al "boca a boca", cada día que pasaba el número de oyentes se triplica respecto al día anterior.

1. 1. El primer término de la progresión es a1 = Rellenar huecos (12):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAwJXUwMDAw personas.
   2. La razón r de esta progresión es r = Rellenar huecos (13):JXUwMDZi .
   3. El término general de esta progresión es an = Rellenar huecos (14):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAwJXUwMDAw · Rellenar huecos (15):JXUwMDZi (n-1) personas.
   4. En el día 6 escucharán la canción a6 = Rellenar huecos (16):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAwJXUwMDAw · Rellenar huecos (17):JXUwMDZi ( Rellenar huecos (18):JXUwMDZk ) = Rellenar huecos (19):JXUwMDZhJXUwMDA2JXUwMDA3JXUwMDEzJXUwMDEwJXUwMDAwJXUwMDAw personas.
   5. En total escucharon la canción los 6 días:

S6 = | Rellenar huecos (20):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAwJXUwMDAw · ( Rellenar huecos (21):JXUwMDZmJXUwMDA1JXUwMDBi - 1) | = | Rellenar huecos (22):JXUwMDZmJXUwMDA1JXUwMDBhJXUwMDE4JXUwMDEwJXUwMDAwJXUwMDAw | = Rellenar huecos (23):JXUwMDZiJXUwMDA1JXUwMDAyJXUwMDE0JXUwMDEwJXUwMDAwJXUwMDAw personas.
Rellenar huecos (24):JXUwMDZh | Rellenar huecos (25):JXUwMDZh

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