# 3.8. Modeliza el montaje

# Configura la iluminación

## Diseña

Para el concierto, disponéis de una barra con tres focos LED idénticos.

La mesa de mezclas permite programar diferentes escenas, eligiendo distinto número de focos que luego se encienden o se apagan.

¿De cuántas formas distintas podéis organizar esta iluminación?

Pista: primero elige cuántos focos vas a utilizar y luego cuántos están encendidos.

El primer caso sería no elegir ninguno, el segundo sería elegir uno y encenderlo o apagarlo, etc.

## Monta

Para no perderte con los casos, tienes que seguir un método de organización, vas a probar usando un triángulo.

Para ordenar resultados, antes hay que ponerlos de forma abreviada usando, por ejemplo, una letra para cada opción.

Puedes llamar a los focos A, B y C. La letra, tal cual, indica que el foco está encendido y la letra con una barra superior, indica que está apagado.

0 focos ⇒ [ ]
1 foco, el A ⇒ A A
2 focos: A, B ⇒ AB AB , AB AB
3 focos: A, B, C ⇒ ABC ABC , ABC , ABC ABC , ABC , ABC ABC

Ya te habrás dado cuenta de que describir estos casos es complicado, pero aplicando técnicas numéricas lo resolverás paso a paso.

## Cuenta

El siguiente paso es contar esos resultados.

- Asigna a cada caso su recuento; cuando haya una opción pones un 1, si hay dos pones un 2 y así sucesivamente.
- Además, cambia "foco" por "fila".

Este es el resultado:

Fila 0 ⇒ 1
Fila 1 ⇒ 1 1
Fila 2 ⇒ 1 2 1
Fila 3 ⇒ 1 3 3 1
¿Siguen algún patrón?

Para responder a esa pregunta piensa cómo sería el problema si hay cuatro focos.

## Modeliza

Es el momento de descubrir la regla lógica que sigue este triángulo de números.

Si ya calculaste la fila 4, entonces puedes ver que cada número es el resultado de sumar los dos que tiene encima:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 ? ? ? ? 1

## Generaliza

Aunque podrías seguir sumando números, una y otra vez, para completar las filas, lo más práctico es recurrir a alguna fórmula.

¿Recuerdas lo visto en el apartado 3.3. Organiza tus notas?

1. El número factorial: se escribe con un signo de exclamación \( n! \) y consiste en multiplicar un número por todos los naturales anteriores hasta llegar al 1. Es fundamental para organizar las configuraciones de la mesa de mezclas.

\[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 \]

2. El número combinatorio: es la fórmula que genera cada término del triángulo. Se representa como \( \binom{n}{k} \), donde \( n \) es el número de focos totales y \( k \) los que decidís encender:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

## Aplica

Cada número del triángulo se llama número combinatorio y se escribe \( \binom{n}{k} \).

- n: El número de la fila (total de focos disponibles).
- k: La posición en la fila (cuántos focos eliges encender).

La fórmula para hallar cualquier número del triángulo es:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Por ejemplo, si vuestro equipo tiene 6 focos (\( n=6 \)) y queréis saber cuántas formas hay de elegir dos (\( k=2 \)) para encender, aplicad la fórmula:

\[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} \]

Reflexiona...

¿De cuántas formas puedes elegir dos para apagar? ¿Por qué?

## Apoyo visual

Hersfold. Triángulo de Pascal animado (CC BY)

## La historia del triángulo

Al triángulo anterior de números combinatorios, se le llama de distintas formas:

Triángulo de Tartaglia: en honor al italiano Niccolò Fontana Tartaglia, quien descubrió cómo generar estos números en el siglo XVI.

Triángulo de Pascal: por el francés Blaise Pascal, quien, un siglo después, modelizó todas sus propiedades matemáticas en un famoso tratado.

En la imagen puedes ver la máquina que creó en 1692, con solo 19 años, para hacer cálculos, la pascalina.

# Total de escenas

Vas a contar cuántos diseños de iluminación (encendido/(apagado) es posible crear a partir de las filas del triángulo de Pascal.

Observa y completa la tabla:

Tabla de recuento de casos por filas
N.º de focos (\(n\)) | Suma de la fila (suma del recuento) | Total de escenas (\(a_n\))
--- | --- | ---
1 foco | 1 + 1 = Rellenar huecos (1):JXUwMDZh | Rellenar huecos (2):JXUwMDZh = 21
2 focos | 1 + 2 + 1 = Rellenar huecos (3):JXUwMDZj | Rellenar huecos (4):JXUwMDZj = 22
3 focos | 1 + 3+ 3 + 1 = Rellenar huecos (5):JXUwMDYw | Rellenar huecos (6):JXUwMDYw = 23
4 focos | 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = Rellenar huecos (7):JXUwMDY5JXUwMDA3 | Rellenar huecos (8):JXUwMDY5JXUwMDA3 = 24

1. ¿Qué tipo de progresión es esta? Rellenar huecos (9):JXUwMDFmJXUwMDIyJXUwMDBhJXUwMDAyJXUwMDg0JXUwMDlkJXUwMDA2JXUwMDFiJXUwMDBhJXUw MDAy .
2. Si el concierto tuviera 10 focos, n = 10, ¿cuál sería el valor del término a10 de esta sucesión? Rellenar huecos (10):JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAyJXUwMDA2 .

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# El triángulo: una fábrica de sucesiones

## Luces triangulares

Otra decisión a tomar cuando coloques las luces será su posición: pueden estar en fila o formando figuras: triángulos, cuadrados, pentágonos...

Para calcular cuántas necesitas te ayudará saber que algunos números se pueden representar formando un triángulo. Son los números triangulares: T = {1, 3, 6, 10... }

Puedes encontrarlos en la tercera diagonal del triángulo de Pascal, \( \binom{n+1}{2} \).

Observa cómo se forman: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3... ¡es la suma de los números naturales!

Hay más números con los que puedes formar figuras, investiga en la red qué son los números figurados.

## Apilando latas

Imagina que tienes que almacenar objetos cilíndricos o esféricos. ¿Cómo lo harías?

Existen más números que te dan ideas para almacenar y contar.

Los de la imagen son los números tetraédricos o números piramidales triangulares:

T = {1, 4, 10, 20... }

Puedes encontrarlos en la cuarta diagonal del triángulo de Pascal, \( \binom{n+2}{3} \).

Para visualizar esta sucesión, prueba a apilar latas de bebidas de distintas alturas siguiendo el modelo.

n (fila / pila) | Número triangular | Número tetraédrico
--- | --- | ---
1 | 1 | 1
2 | 3 | 4 = 1 + 3
3 | 6 | 10 = 1 + 3 + 6
4 | 10 | 20 = 1 + 3 + 6 + 10

En la siguiente actividad podrás experimentar con este tipo de construcciones.

## Otro enfoque

El triángulo esconde en sus filas las potencias del 11. Encontrarlos es más difícil.

Observa los números de las filas. ¿Qué pasa si los escribes como único número?

Buscando las potencias de 11
N.º de fila (\(n\)) | Número que forma | Potencia de 11 (\(a_n\))
--- | --- | ---
1 | 1 1 = 1 ·10 + 1 = 11 | 11 = \(11^1\)
2 | 1 2 1 = 1 · 100 + 2 ·10 + 1 =121 | 121 = \(11^2\)
3 | 1 3 3 1 = 1 ·1000 + 3 ·100 + 3 ·10 + 1 | 1331 = \(11^3\)
4 | 1 4 6 4 1 = 14 641 | 14 641 = \(11^4\)
5 | 1 5 10 10 5 1 = 161 051 | 161 051 = \(11^5\)

¿Cómo consigues el número 161 051 de la fila 5? ¿Y el de la fila 6? ¿Qué pasa cuando en la fila hay entradas de dos dígitos?

Lo que debes haces es llevar el lugar de las decenas al número de la izquierda. Mira cómo se hace:

Fila 5 ⇒ 1 5 10 10 5 1 = 1 5+1 0+1 0 5 1 =161 051 = 115

Fila 6 ⇒ 1 6 15 20 15 6 1 = 1 6+1 5+2 0+1 5 6 1 =1 771 561 = 116

...

Analiza y responde en tu cuaderno: ¿Qué tipo de progresión es esta?

# Logística de almacenaje

En grupo, tenéis que estudiar al menos dos formas distintas de apilar objetos esféricos o cilíndricos.

En cada caso, tendréis que identificar la sucesión que se va formando desde la base.

Una vez identificada, tendréis que calcular el número de elementos.

Y por último, si se trata de un número figurado conocido, buscad su fórmula y calculad varios apilamientos de distintos pisos a partir de ella (por ejemplo, 10, 20 o 100 pisos).

Un ejemplo podéis verlo en esta noticia: "Estudiantes elaboran una pirámide de papel higiénico".

# ¿Encendidos o apagados?

## On / Off

Como viste antes, hay 1 forma de ponerlos apagados, 2 formas de mezclar uno encendido y otro apagado y 1 forma de poner dos encendidos.

Los números (1, 2, 1) coinciden exactamente con la fila número 2 del triángulo de Tartaglia.

Pero, ¿a qué otra expresión te recuerdan estos números?

Aquí tienes una pista...

Esquema de doble opción

|  | a | + | b |
x |  | a | + | b |
|  | ba | + | b² | (multiplicando por b)
+ | a² | + ab |  |  | (multiplicando por a)
| 1a² | + 2ab | + | 1b² | (resultado final)

## Coeficientes binomiales

Al sumar las columnas, aparecen los coeficientes 1, 2 y 1.

Estos números indican las combinaciones posibles de focos para una estructura de dos elementos.

Y también los números que has obtenido en el cuadrado de la suma: \((a + b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2\).

Por otra parte, las letras que vas multiplicando siguen también esa pauta: aa, ab, ba, bb.

Todo esto no es casual, se sigue cumpliendo cuando realizas el cuadrado, el cubo, la cuarta potencia de un binomio, por eso se llaman coeficientes binomiales.

Si realizas la misma operación para tres elementos (a + b)³ obtienes la fila número 3 del triángulo de Tartaglia.

Y así sucesivamente.

## Turnos mañana/tarde

Imaginad que para el montaje de cada sector del escenario (iluminación, sonido y seguridad) tienes que elegir entre un equipo para el turno de mañana (M) y otro para el turno de tarde (T).

¿De cuántas formas se puede organizar el trabajo combinando estos turnos en las 3 tareas?

Para modelizar este reparto de personal, utiliza el cubo de una suma (binomio al cubo).

Planificación de turnos

| M² | + 2MT | + T²
x |  | M | + T
| M²T | + 2MT² | + T³
+ M³ | + 2M²T | + MT² |
1M³ | + 3M²T | + 3MT² | + 1T³

Los coeficientes de este desarrollo algebraico (\( 1, 3, 3, 1 \)) son exactamente los números de la fila 3 de vuestro triángulo.

Este patrón permite realizar el recuento de personal de forma directa sin tener que escribir todas las configuraciones posibles de la mesa de trabajo.

Además, podrías construir las opciones observando como quedan las letras de los coeficientes.

## Ganar/Perder

La idea de trabajar con dos opciones está detrás de muchas situaciones de la vida real, por ejemplo, en competiciones deportivas, en juegos...

En el tema de probabilidad verás cómo sacar partido a estas fórmulas para contar resultados.

De momento puedes quedarte con que este triángulo tiene muchas aplicaciones, aunque todas tienen el mismo objetivo: contar opciones de forma inteligente.

# Estudio de las opciones de montaje de luces

Es el momento de probar las luces.

Tienes 5 bombillas (n) que puedes apagar y encender a tu antojo.

Escribe en tu cuaderno cuántas opciones se pueden dar cuando enciendes solo 1 bombilla, cuando enciendes 2, ...

## Ayuda

Esta tabla puede ayudarte a registrar el número de opciones que encuentres.

k = Número de bombillas encendidas.

Puedes indicar encendido con un círculo sin marcar y apagado con un círculo marcado o con otros símbolos similares.

Registro de casos n = 5 bombillas
Configuración k | Descripción | N.º casos encontrados | Ejemplo de una opción de este tipo
--- | --- | --- | ---
K = 0 | Apagón total (0 bombillas) |  | ⊗⊗⊗⊗⊗
K = 1 | Focos individuales (1 bombilla) |  | ◯⊗⊗⊗⊗
K = 2 | Parejas de luces (2 bombillas) |  |
K = 3 | Tríos de luces (3 bombillas) |  |
K = 4 | Cuartetos de luces (4 bombillas) |  |
K = 5 | Encendido total (5 bombillas) |  |

Recuerda poner en tu cuaderno las opciones.

https://www.geogebra.org/m/xtk4rsch (Ventana nueva)

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Autoría: Francisco Javier Anaya-Puebla

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