# 3.11. Logo del concierto

# ¡Vuestro logo, vuestra marca!

¡Es el momento de crear vuestra marca!

Ahora que domináis las sucesiones, el proceso de diseño será tan iterativo como el mejor rock.

Para ello usaréis un fractal, pero ¿qué es exactamente?

Es una construcción geométrica que se repite a diferentes escalas y que esconde propiedades matemáticas que ya conocéis:

- Las figuras cambian de tamaño de forma proporcional (autosemejanza).

- Si analizas el número de elementos, su longitud y su estructura, encontrarás progresiones.

¡Convertid vuestro logo en el sonido visual del concierto!

## Lectura facilitada

¡Es el momento de crear vuestra marca!

Para ello usaréis un fractal.

Es una construcción geométrica que se repite.

Sus propiedades son:

- Las figuras cambian de tamaño de forma proporcional.

- El número de elementos, su longitud, etc., son progresiones.

# Empieza por lo fácil: un lado del "Copo de Koch"

Antes de empezar a crear vuestro logo, debéis conocer cómo se forma, su estructura matemática.

Este ejemplo es parte del fractal "Curva de Koch".

Manipula el applet de GeoGebra para ver cómo se crea uno de sus lados, dividiendo cada segmento en tres partes.

Cuando lo entendáis, pasad a la actividad siguiente.

## Ayuda

Los fractales son un ejemplo de sucesiones recurrentes.

Observa que para n = 0 este fractal es un segmento.

Para n = 1, esa línea se divide en tres y, en el segmento del medio, se levantan dos segmentos con la misma medida que los laterales.

Por tanto, son cuatro segmentos de tamaño 1/3 del original.

Para n = 2 son 16 segmentos de tamaño 1/9 del original.

Y así sucesivamente.

https://www.geogebra.org/m/mxmcvnvg (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/mxmcvnvg,Curva%20de%20Koch,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Fabián Colombo

# Un logo "impre-visible"

Para mejorar la difusión del concierto, el diseño del logo será algo infinitamente matemático. ¡Se basará en un fractal!

Pero no basta con que el logo sea bonito, debe ser matemáticamente posible de fabricar.

Vuestra impresora tiene un tope de grosor de impresión de línea mínimo, no imprime por debajo de 1 mm.

Usando una hoja de cálculo, debéis encontrar en qué fase el detalle mide menos de 1 mm y cuánto hilo (longitud total) necesitaríais en esa fase.

Luego compararéis los resultados de eficiencia y de originalidad.

## 1. Instrucciones comunes

## 1. ¿Qué hay que hacer?

Todos los grupos deben completar las mismas etapas de investigación.

Cada equipo trabajará con su fractal asignado en LibreOffice Calc. Debéis completar vuestra tabla hasta la Fase 10 y responder a estas tres preguntas clave:

- ¿En qué fase el logo deja de ser imprimible?
- Si quisierais bordar el logo, ¿cuántos mm de hilo necesitaríais en la última fase imprimible?
- Determinad el valor del primer término (a1) y la razón (r) de vuestra figura.
- Usad la fórmula del término general para predecir el tamaño en cualquier fase sin tener que calcular las anteriores.

## 2. ¿Cómo se hace?

Construcción en LibreOffice Calc:

- Columna A: fase (n), del 1 al 10.
- Columna B: longitud de un segmento (an).
- Columna C: cantidad de elementos nuevos.
- Columna D: longitud total de la silueta (B * C).

- Análisis de límites: aplicad un formato condicional en la columna B: si el valor es menor a 1 mm, la celda debe ponerse en rojo. ¡Es el límite de vuestra impresora!

## 2. Fase de exposición

Una persona representante de cada grupo saldrá a la pizarra para completar la tabla comparativa:

Fractal | Razón de longitud | ¿En qué fase se detiene? | Complejidad (n.º de elementos)
--- | --- | --- | ---
Curva de Koch | 1/3 | ??? | Baja (x4)
Sierpinski (Triángulo) | 1/2 | ??? | Media (x3)
Sierpinski (Alfombra) | 1/3 | ??? | Alta (x8)
Árbol Fractal | 1/2 | ??? | Baja (x2)

## 3. Debate final

Tras ver los datos de todos los grupos, discutid en clase: ¿Qué fractal elegiríais si quisierais un logo que parezca muy complejo pero que sea fácil de imprimir sin errores?

Antes de ver las especificaciones por equipo, mirad los fractales en las páginas siguientes.

## 2. Especificaciones por equipo

Elegid vuestro fractal y aplicad sus parámetros específicos en la hoja de cálculo:

## A: la Curva de Koch

Vuestro logo crece rompiendo cada línea en cuatro tramos más pequeños.

- a1 (Longitud inicial): 81 mm.
- r (Razón de longitud): 1/3 (Progresión decreciente).
- Crecimiento de elementos: razón r = 4 (Progresión creciente).

## B: el triángulo de Sierpinski

Vuestro logo crea una red de triángulos eliminando el centro de cada uno.

- a1 (Lado inicial): 128 mm.
- r (Razón de longitud): 1/2 (Progresión decreciente).
- Crecimiento de elementos: razón r = 3 (Progresión creciente).

## C: la alfombra de Sierpinski

Un diseño cuadrado altamente complejo basado en una rejilla de 3x3.

- a1 (Lado inicial): 81 mm.
- r (Razón de longitud): 1/3 (Progresión decreciente).
- Crecimiento de elementos: razón r = 8 (Progresión creciente).

## D: el árbol Fractal

Un diseño orgánico donde cada rama se bifurca en dos nuevas.

- a1 (Longitud del tronco): 64 mm.
- r (Razón de longitud): 1/2 (Progresión decreciente).
- Crecimiento de elementos: razón r = 2 (Progresión creciente).

# Hoja de cálculo: Un logo "impre-visible"

Descarga la hoja de cálculo de ayuda para resolver las preguntas del logo.

- Ficha del logo en ODS (descarga el documento) (Ventana nueva)

# Rúbrica para evaluar un logo "impre-visible"

Rúbrica para evaluar un logo "impre-visible"
| 4 Excelente | 3 Satisfactorio | 2 Mejorable | 1 Insuficiente
--- | --- | --- | --- | ---
Configuración de Parámetros (F, G, H) | Define correctamente a_1, r y R en las columnas F, G y H, permitiendo que toda la tabla sea dinámica. (4) | Define los parámetros, pero los cálculos de la tabla no están vinculados a estas celdas. (3) | Los parámetros están presentes, pero son incorrectos para el fractal elegido. (2) | No define los parámetros iniciales del fractal. (1)
Cálculo de Longitud del Segmento (Col. B) | Calcula la longitud en cada fase (n) usando la razón r (B_n = B_{n-1} · r) de forma exacta. (4) | Calcula la longitud con fórmulas, pero comete algún error al arrastrar o en la primera fase. (3) | Los valores de longitud son constantes o no siguen una progresión geométrica. (2) | No calcula la medida de las líneas del logo (1)
Cálculo de Cantidad de Elementos (Col. C) | Calcula el número de figuras usando la razón de crecimiento R de forma impecable. (4) | Calcula el número de figuras, pero no coincide con la lógica de crecimiento del fractal seleccionado. (3) | Introduce los números de elementos manualmente sin usar fórmulas. (2) | No calcula el número de figuras que forman el logo. (1)
Longitud Total del Fractal (Col. D) | Realiza el producto correcto entre la longitud del segmento y el número de elementos (B · C) para cada fase. (4) | Calcula la longitud total, pero hay errores de redondeo o referencias de celda incorrectas. (3) | La columna existe, pero los resultados no son coherentes con los datos de las columnas B y C. (2) | No calcula la medida total de la línea del logo (longitud del fractal). (1)
Límite de Impresión y Formato | Aplica el formato condicional (rojo < 1 mm) en la columna B e incluye la imagen del logo generado. (4) | El formato condicional funciona, pero falta la imagen del logo o viceversa. (3) | Identifica el límite de forma manual y la imagen del logo es de mala calidad o incorrecta. (2) | No aplica el formato condicional ni incluye la imagen solicitada. (1)

Elaboración propia (proyecto cREAgal). Rúbrica para evaluar un logo "impre-visible" (CC BY-NC-SA)

- Actividad
- Nombre
- Fecha
- Puntuación
- Notas
- Reiniciar
- Imprimir
- Aplicar
- Ventana nueva

# ¡Luces, cámara, cálculos!

Después de diseñar, junto con tu equipo, el logo del concierto, es el momento de reflexionar sobre todo lo que habéis aprendido hasta llegar aquí.

¿Qué te ha resultado más difícil de crear una economía desde cero para tu festival?

Al descubrir que el ritmo y el crecimiento pueden predecirse con fórmulas, ¿ves la música y la organización de la misma manera que antes?

Ahora que el reto está pautado y el escenario preparado, ¿qué habilidad técnica de esta fase crees que será tu mayor aportación para que el grupo logre el reto?

Valora qué conocimientos y qué herramientas has utilizado...

Antes de continuar, responde en tu diario de aprendizaje a las preguntas que te ayudarán a completar esta valoración y reflexiona sobre lo que has aprendido, las dificultades encontradas y cómo has desarrollado tu forma de trabajar.

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