3.7. Enraizando

Glosario

Acotar

Definición:: En topografía significa asignar cotas (alturas) a puntos del terreno.
Ejemplo:: La cota más alta de este monte es 304 metros.

Desnivel

Definición:: Diferencia de altura entre dos lugares.
Ejemplo:: El desnivel del terreno es de 150 m.

Linde

Definición:: Línea que separa unas parcelas de otras.
Ejemplo:: Esa fila de castaños está en la linde.

Marco de plantación

Definición:: Distribución geométrica de un cultivo que generalmente busca maximizar su rendimiento.
Ejemplo:: Este año reajustaremos el marco de plantación de los nogales para que pase mejor el tractor entre las filas.

La potencia y la raíz

Raíz

Paisaje del valle de Láncara en el que se ven prados y un árbol con ramas con forma de raíz El símbolo de la raíz aparece en la naturaleza en las formas de los árboles. ¿Recuerdas lo que es?

Se llama raíz n-ésima de un número real a, y se escribe \(\sqrt[{\color{red}n}]{\color{green}a}=b\), a un número real b que cumple \(b^{\color{red}n}={\color{green}a}\).

\(\sqrt[{\color{red}3}]{\color{green}27}=3\) ya que \(3^{\color{red}3}={\color{green}27}\)

\(\sqrt[{\color{red}6}]{\color{green}64}=\pm2\) ya que \(2^{\color{red}6}=(-2)^{\color{red}6}={\color{green}64}\)

¿Cuántas hay?

	Número de raíces según el índice y el radicando \(\sqrt[{\color{red}n}]{\color{green}a}\)
	Si n es par y a > 0	Dos raíces. Ej.: \(\sqrt[{\color{red}6}]{\color{green}64}=\pm2\)
	Si n es par y a < 0	No tiene raíz. Ej.: \(\sqrt[{\color{red}6}]{\color{green}-64}=\not\exists\)
	Si n impar	Una raíz. Ej.: \(\sqrt[{\color{red}3}]{\color{green}-27}=-3\)
	Para cualquier n, par o impar	\(\sqrt[{\color{red}n}]{\color{green}0}=0\)

Paso de raíz a potencia

En muchas ocasiones es más útil trabajar con radicales en forma de potencias. Observa cómo se efectúan estos cambios:

\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]

Por ejemplo, \(\sqrt[3]{27}=27^{\frac{1}{3}}=(3^3)^{\frac{1}{3}}=3\)

\[\sqrt[n]{a^m}=(a^m)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}\]

Por ejemplo, \(\sqrt[3]{2^6}=2^{\frac{6}{3}}=2^{2}=4\)

Cálculos con radicales

Producto de radicales del mismo índice

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\]

Esto es así porque

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}=(a\cdot b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}\]

Aquí podéis ver un ejemplo de aplicación de la propiedad:

\[\sqrt[4]{8}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{8\cdot 2}=\sqrt[4]{16}=2\]

Cociente de radicales del mismo índice

\[\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

Esto es así porque

\[\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}:b^{\frac{1}{n}}=(a:b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\]

Aquí tenéis un ejemplo de aplicación de la propiedad:

\[\sqrt[3]{16}: \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{16: 2}=\sqrt[3]{8}=2\]

Radical de un radical

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\]

Esto es así porque

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n\cdot m}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\]

Aquí está un ejemplo de aplicación de la propiedad:

\[\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}}=\sqrt[3\cdot 4]{4096}=\sqrt[12]{4096}=2\]

Deja que las raíces se expandan

¿Cerca o lejos?

Soto de castaños con erizos de castañas en el suelo El éxito de una plantación forestal depende en gran medida de la separación entre los árboles.

Esta decisión, aparentemente simple, es una estrategia clave para dirigir el crecimiento del bosque.

La razón principal para alejar las plantas entre sí es garantizar que cada árbol disponga de recursos. Al haber más espacio, las copas reciben más luz solar y las raíces se nutren mejor.

Por el contrario, plantar árboles más juntos busca mejorar la calidad de la madera.

La competencia lateral por la luz hace que los árboles crezcan en altura en vez de en anchura. Así habrá tallos altos, rectos y con menos ramas.

En definitiva, la distancia ideal se debe calcular en función del tipo de aprovechamiento.

Tresbolillo

Uno de los marcos de plantación más utilizados es el tresbolillo. ¿Te has fijado en algún monte? Si es así, seguro que lo has visto aunque no supieses su nombre.

Árboles en una plantación con tresbolillo sobre un fondo de puntos

Plantar a tresbolillo ayuda de un modo sencillo a optimizar el espacio del que se dispone.

Patrón

Fíjate en los puntos del espacio en los que están colocados los pies de los árboles. ¿Ves el patrón?

Árbol sobre un fondo de puntos indicando la plantación con tresbolillo

Distancias

Observa cómo se eligen las distancias, en ambas direcciones.

Imagen con árboles y puntos que representa la distancia entre árboles

Primeramente, se escoge la distancia (L) a la que deben separarse los árboles en cada hilera.

Imagen con árboles y puntos que representa la distancia entre hileras

En segundo lugar, hay que separar las hileras también a una distancia (L) entre sí.

Para formar el tresbolillo, las hileras "pares" deben "adelantarse" justo la mitad de la longitud \(L\) elegida. Esto forma un triángulo rectángulo en el que un cateto es la mitad del otro.

Al pie

Entonces, ¿cuál es la separación entre los pies de los árboles entre dos hileras?

Árbol con fondo de puntos según plantación con tresbolillo y un triángulo rectángulo uniendo tres de ellos

La distancia en el terreno se calcula a partir del triángulo rectángulo de base \(L/2\) y altura \(L\) que se genera entre filas.

Usando el Teorema de Pitágoras, el valor desconocido "?" de su hipotenusa (a partir de ahora \(x\) ) cumple que \[x^2=L^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 \ \Rightarrow \ x^2=\dfrac{5L^2}{4} \ \Rightarrow \ x=\sqrt{\dfrac{5L^2}{4}} \ \Rightarrow \ x=\dfrac{\sqrt{5}L}{2}\]

En la siguiente web de una empresa agrícola puedes consultar una tabla en la que aparecen varias distancias de marcos de plantación según la especie: aguacates, almendros, avellanos, cerezos, naranjos...

Practica

Dadas las siguientes distancias entre árboles dentro de la misma fila, completa la siguiente tabla con la separación con los árboles de las filas contiguas:


Especie	Distancia entre filas \(L\) (\(m\))	Separación entre árboles \(d\) (\(m\))
Eucalipto	3	\(\dfrac{\sqrt{5}\cdot 3}{2}\simeq 3,35\)
Cerezo	\(\sqrt{20}\)	\(\dfrac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}}{2}=\dfrac{\sqrt{5\cdot 5 \cdot 4}}{2}=\dfrac{5\sqrt{4}}{2}=5\)
Abedul	\(\sqrt{8}\)
Caqui	\(\dfrac{10}{\sqrt{5}}\)
Castaño	\(2\sqrt{10}\)
Almendro	\(\dfrac{12}{\sqrt{10}}\)

Lectura facilitada

La distancia entre los árboles influye en su productividad.

A mayor separación:

Más luz y agua para cada árbol.
Árboles más robustos.
Bosques con biodiversidad.

A menor separación:

Árboles crecen más altos y rectos.
Madera de mejor calidad.
Producción forestal.

Un ejemplo de plantación de árboles es el tresbolillo.

Cotas y raíces

Árboles en pendiente con un triángulo rectángulo que marca su inclinación sobre el terreno

Hallar la separación entre árboles se complica en terrenos inclinados.

Imagina que tienes un plano de tu parcela inclinada, en el que aparecen marcadas varias cotas (alturas del terreno).

Quieres saber la distancia sobre el terreno de dos árboles: uno que está a una cota de 87 m y otro sobre una cota de 84 m.

Según el plano, la distancia que los separa horizontalmente (OQ), es de 10 m.

¿Qué distancia sobre el terreno hay entre ambos (OP)?

Da el resultado de forma aproximada, acotando entre dos valores enteros.

Pista 1: acotar

La palabra acotar significa poner coto, poner tope.

En geografía suele darse para la altura de un objeto, el tope superior.

En matemáticas es delimitar entre qué dos valores está una cantidad, tope inferior y superior.

Por ejemplo, \(\sqrt{5}\) está acotada entre 2 y 3.

Pista 2: cálculos

La longitud \(\overline{QP}\) es la diferencia de alturas \(87-84 = 3\) m.

A partir del triángulo rectángulo de catetos 3 y 10, puedes calcular la distancia pedida:

\[\overline{OP}=\sqrt{3^2+10^2}=\sqrt{9+100}=\sqrt{109}\]

Pero, ¿cuántos metros son \(\sqrt{109}\) m?

Puedes estimar dicha distancia aproximando a los metros:

Sabiendo que \(10\cdot 10 = 100 < 109 < 11\cdot 11 = 121\), puedes acotar el valor de \(\sqrt{109}\) entre 10 y 11 metros.

Repite el procedimiento para acotar el resultado de las siguientes raíces:

Rellenar huecos (1):JXUwMDZi \(< \sqrt{13}< \) Rellenar huecos (2):JXUwMDZj

Rellenar huecos (3):JXUwMDZl \(< \sqrt{40}< \) Rellenar huecos (4):JXUwMDZm

Rellenar huecos (5):JXUwMDZj \(< \sqrt{17}< \) Rellenar huecos (6):JXUwMDZk

Rellenar huecos (7):JXUwMDY5 \(< \sqrt[3]{5}< \) Rellenar huecos (8):JXUwMDZh

Rellenar huecos (9):JXUwMDZh \(< \sqrt[3]{9}< \) Rellenar huecos (10):JXUwMDZi

Rellenar huecos (11):JXUwMDZh \(< \sqrt[4]{45}< \) Rellenar huecos (12):JXUwMDZi

Rellenar huecos (13):JXUwMDZi \(< \sqrt[4]{100}< \) Rellenar huecos (14):JXUwMDZj

Rellenar huecos (15):JXUwMDZj \(< \sqrt[4]{257}< \) Rellenar huecos (16):JXUwMDZk

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A raíz de mucho patear...

Ahora que conoces las cotas de tu monte, que has estimado distancias entre árboles, que has decidido qué marco de plantación utilizarás (por ejemplo tresbolillo) y, sobre todo, que te lo has pateado bien, habrás caído en una cuestión: la distancia \(L\) a la que elijas separar las filas está condicionada por la inclinación del terreno.

Mueve el deslizador que indica la diferencia de cotas entre las bases de los árboles para comprobar que la distancia que se mida sobre el suelo entre las mismas varía en función de la pendiente que tenga el terreno.

Recuerda que...

Lo que buscas es regular la captación de nutrientes para las raíces y luz para las copas.

Te interesa que \(L\) (\(\overline{OQ}\) en lo sucesivo) sea la separación entre los troncos, no la separación sobre el terreno, que siempre será algo mayor que la anterior (como has visto en "Cotas y raíces").

https://www.geogebra.org/m/jbdm6qvn (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/jbdm6qvn,Plantaci%F3n%20bien%20distanciada,1,Autor%EDa

Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Reflexiona y anota en tu cuaderno

Imagina que la primera planta está "al principio" de la cuesta y que la siguiente (siguiendo la pendiente de dicha cuesta) debiera separarse horizontalmente \(\overline{OQ}\) de la anterior. Como acabas de ver usando el deslizador, esta distancia depende de la pendiente \(m\) del monte. Por ejemplo:

Para plantar un pinar en un monte con pendiente m = - 0.25, si quieres que los troncos crezcan distanciados entre sí \(\overline{OQ}=\) 4 m, ¿qué distancia \(\overline{OP}\) debes medir sobre el suelo para separarlos? La diferencia \(\overline{PQ}\) de alturas entre esos dos troncos se calcula como \(|m| \cdot \overline{OQ} = 0.25 \cdot 4= 1 \) .

\[\overline{OP}=\sqrt{\overline{OQ}^2+\overline{PQ}^2}\]

en este caso \(\overline{OP}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\).

El radicando es relativamente pequeño, pero el resultado podría ser \(\sqrt{200}\), \(\sqrt{1120}\) o, si desconoces el valor de alguna medida, podría tener letras, como \(\sqrt{78b^2}\).

Esto dificulta las operaciones, por lo que tus cálculos se agilizarán si simplificas las raíces extrayendo factor común.

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