# 3.4. Titulares afines

# ¡Una buena noticia para el planeta!

Jueves 13 de marzo
El Mathington Post

# ECOLOGÍA

¡Una buena noticia para el planeta!

Según un estudio reciente, por cada bicicleta eléctrica vendida, se deja de emitir aproximadamente 100 kg de dióxido de carbono al año. Esto quiere decir que, cuantas más bicicletas eléctricas se vendan, mayor será la reducción de la contaminación.

En el gráfico se muestra la cantidad de CO₂ que se evita por cada bicicleta eléctrica usada.

El curso pasado ya aprendiste que algunas magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional, como en el caso de la contaminación y la venta de bicicletas eléctricas: más bicicletas significan mayor reducción de emisiones de CO₂.

Ahora, vas a aprender algo nuevo: las funciones afines, que también son rectas. ¿Tienes ganas de descubrir cómo funcionan?

# La función lineal

## ¿Lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta.

Su expresión algebraica, o fórmula, es de la forma f(x) = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

- El caso n = 0 lo estudiaste anteriormente, es una función de proporcionalidad directa.

- El caso n ≠ 0; se llama función lineal afín, o simplemente función afín.

¿Recuerdas los polinomios del tema anterior?

Una función lineal también puede verse como un polinomio de grado 1. En ese caso suele escribirse de la forma P(x) = ax + b, a es la m y b es la n.

## Pendiente

La pendiente de la recta da una medida de su inclinación respecto al eje X.

Habitualmente se representa por la letra m, en la fórmula es el número que multiplica a la x.

Para calcular la pendiente de una recta a partir de su gráfica basta calcular la variación de y frente a la variación de x.

Esto se hace eligiendo dos puntos de la recta y comparando las coordenadas del segundo con las del primero (el segundo es el de mayor valor de x).

El resultado puede ser positivo, negativo o cero.

En el primer caso la recta es creciente, en el segundo es constante y en el tercero es decreciente.

En el ejemplo de la tercera imagen:

- Toma dos puntos, (-1,3) y (3,1).
- Resta los valores de la coordenada y del segundo menos la del primero, 1 – 3 = -2
- Resta los valores de la coordenada x del segundo menos la del primero,3 – (-1) = 4
- El cambio en sentido vertical es de -2 unidades, y el cambio en el sentido horizontal es de 4 unidades.
- La medida de la inclinación, la pendiente, es el cociente del cambio vertical, entre el cambio horizontal:

\(\frac{\textcolor{limeGreen}{-2}\ }{\textcolor{SkyBlue}{4}\ }\) = \(\frac{\textcolor{limeGreen}{-1}\ }{\textcolor{SkyBlue}{2}\ }\)

- Por tanto, la expresión de la recta de la imagen es \(f(x) = \frac{-1}{2}x+n\)

## Cortes

### Con el eje Y

Es el punto en el cual x = 0.

Observa que si en la función f(x) = mx + n, calculas f(0) = 0 + n = n

Por eso al valor de n se le llama "la ordenada (y) en el origen (0)".

En los problemas es importante interpretar el significado contextualizado de ese valor.

Ejemplo:

En el problema del apartado 3.1. que habla de los ahorros de María, el eje X indica tiempo y el eje Y indica dinero.

El punto de corte con el eje Y es la cantidad de dinero que tiene al principio, en la semana 0.

f(0) = 2 · 0 + 15 = 15 €

### Con el eje X

Es el punto en el cual y = 0

Para hallarlo tendrás que resolver una ecuación de primer grado, como la que has visto en cursos anteriores.

Al igual que el corte con el eje Y, es importante, dentro de un problema, interpretar su significado contextualizado.

Ejemplo:

En el caso de los ahorros de María, el punto de corte con el eje X es el obtenido al resolver la ecuación 0 = 2x + 15.

Despejando x = -15/2 = -7,5 semanas.

No tiene sentido en este problema dibujar este punto porque estaría representando un tiempo negativo, al igual que el resto de los que están antes del cero.

## ¿Faltan datos?

En ocasiones, no se sabe el valor de m, pero sí el de n y viceversa, sabemos el de m pero no el de n.

¿Podríamos hallar la fórmula? necesitamos, al menos, otro dato. Por ejemplo, un punto por el que pasa la recta.

Caso 1: falta la pendiente (m), pero se conoce la ordenada en el origen (n) y un punto por el que pasa la recta.

- Hay que sustituir en la fórmula los valores del punto y despejar m.
- Ejemplo: los datos son la fórmula f(x) = mx – 1 y el punto (2,3).
  1. Sustituir el punto en la fórmula 3 = m · 2 – 1
  2. Despejar (3 + 1) / 2 = m = 4 / 2 = 2

Caso 2: falta la ordenada en el origen (n), pero se conoce la pendiente (m) y otro punto por el que pasa la recta.

- Hay que sustituir en la fórmula los valores del punto y despejar n.
- Ejemplo: los datos son la fórmula f(x) = 2x + n y el punto (2,3)
  1. Sustituir el punto en la fórmula 3 = 2 · 2 + n ⇒ 3 = 4 + n
  2. Despejar 3 – 4 = n = -1

Caso 3: faltan la pendiente (m) y la ordenada en el origen (n), pero se conocen dos puntos por los que pasa la recta.

- Hay que sustituir en la fórmula los valores de cada uno de los puntos.
- Ejemplo: los datos son el punto (2,3) y el punto (1,1)
  1. Sustituir el punto (2,3) en la fórmula 3 = m · 2 + n
  2. Sustituir el punto (1,1) en la fórmula 1 = m · 1 + n
  3. Resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, para hallar m y n.

Repasa del tema anterior cómo se resuelven estos sistemas. Comprueba que la solución es m = 2 y n = -1.

## Curiosidades

En la expresión de f(x) = mx + n, a "m" y "n" también se les llaman parámetros.

Consulta en el diccionario de la Real Academia Española el significado de parámetro y razona por qué se les da este nombre.

Investiga qué ocurre cuando dejas fijo uno de los parámetros y cambias el otro en la ecuación de una recta.

# Visor de rectas

Usa el siguiente Geogebra para comprender mejor la pendiente y la ordenada en el origen de una recta.

https://www.geogebra.org/m/rxgesjrc (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/rxgesjrc,Funciones%20afines.%20Pendiente%20y%20ordenada%20en%20el%20origen,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Débora Pereiro

# Punto por punto

Mueve los puntos para que la expresión de la recta coincida con su representación. Después dale al botón de "Comprueba".

Cuando hayas obtenido 10 puntos guarda la puntuación.

https://www.geogebra.org/m/c8q9gcp5 (Ventana nueva)

(Guardar la puntuación)
Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/c8q9gcp5,Ecuaciones%20de%20Rectas,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Tim Brzezinski, adaptada por Débora Pereiro Carbajo

# Columna de enunciados

Para escribir noticias claras y útiles no solo es imprescindible que la información sea fiable, sino también identificar las relaciones entre las variables.

Con esta actividad multinivel aprenderás a utilizar funciones afines para presentar la información. Las funciones te ayudarán a responder fácilmente cualquier pregunta sobre tu noticia, haciendo que tu artículo sea útil y riguroso. ¿Estás a punto para poner tu cabeza a funcionar?

Elige una sola opción y resuélvela.

# Opción A. Relaciones y más relaciones...

Une cada enunciado con la función afín que le corresponde.

{"typeGame":"Relaciona","author":"","randomCards":true,"instructions":"

Une cada enunciado con la función afín que le corresponde.

","showMinimize":false,"itinerary":{"showClue":false,"clueGame":"","percentageClue":40,"showCodeAccess":false,"codeAccess":"","messageCodeAccess":""},"cardsGame":[{"url":"","x":0,"y":0,"author":"","alt":"Una pizzería cobra un suplemento fijo de 2€ por el reparto y 80 céntimos por cada kilómetro recorrido","audio":"","color":"#000000","backcolor":"#ffffff","eText":"Una%20pizzer%C3%ADa%20cobra%20un%20suplemento%20fijo%20de%202%20%E2%82%AC%20por%20el%20reparto%20y%2080%20c%C3%A9ntimos%20por%20cada%20kil%C3%B3metro%20recorrido.","urlBk":"","xBk":0,"yBk":0,"authorBk":"","altBk":"Y=0,8x+2","audioBk":"","colorBk":"#ffffff","backcolorBk":"#007bc4","eTextBk":"y%20%3D%200%2C8x%2B2"},{"url":"","x":0,"y":0,"author":"","alt":"","audio":"","color":"#000000","backcolor":"#ffffff","eText":"La%20Comisi%C3%B3n%20de%20Fiestas%20de%20mi%20pueblo%20cobra%2080%20c%C3%A9ntimos%20por%20entrar%20en%20el%20recinto%20de%20la%20feria%20y%202%20%E2%82%AC%20por%20cada%20consumici%C3%B3n.","urlBk":"","xBk":0,"yBk":0,"authorBk":"","altBk":"","audioBk":"","colorBk":"#ffffff","backcolorBk":"#007bc4","eTextBk":"y%20%3D%202x%2B0%2C8"},{"url":"","x":0,"y":0,"author":"","alt":"","audio":"","color":"#000000","backcolor":"#ffffff","eText":"En%20el%20supermercado%20de%20al%20lado%20de%20mi%20casa%20ha%20habido%20un%20error%20de%20etiquetado%20y%20todos%20los%20precios%20de%20sus%20productos%20han%20sido%20rebajados%20un%2020%20%26percnt%3B.%20%C2%A1Qu%C3%A9%20maravilla!","urlBk":"","xBk":0,"yBk":0,"authorBk":"","altBk":"","audioBk":"","colorBk":"#ffffff","backcolorBk":"#007bc4","eTextBk":"y%20%3D%200%2C8x"},{"url":"","x":0,"y":0,"author":"","alt":"","audio":"","color":"#000000","backcolor":"#ffffff","eText":"Un%20negocio%20de%20lavado%20de%20coches%20cobra%20cuatro%20euros%20por%20la%20entrada%20al%20t%C3%BAnel%20de%20lavado%20b%C3%A1sico%20y%202%E2%80%AF%E2%82%AC%20adicionales%20por%20cada%20servicio%20opcional%20(encerado%2C%20aspirado...)%20que%20se%20contrate.","urlBk":"","xBk":0,"yBk":0,"authorBk":"","altBk":"","audioBk":"","colorBk":"#ffffff","backcolorBk":"#007bc4","eTextBk":"y%20%3D%202x%2B4"}],"isScorm":1,"textButtonScorm":"Guardar la puntuación","repeatActivity":true,"textAfter":"","version":1.3,"percentajeCards":100,"type":1,"showSolution":true,"timeShowSolution":3,"time":3,"evaluation":false,"evaluationID":"","id":"2025415112622-120","msgs":{"msgSubmit":"Enviar","msgClue":"¡Genial! La pista es:","msgCodeAccess":"Código de acceso","msgPlayStart":"Pulsa aquí para jugar","msgScore":"Puntuación","msgErrors":"Errores","msgHits":"Aciertos","msgMinimize":"Minimizar","msgMaximize":"Maximizar","msgFullScreen":"Pantalla Completa","msgExitFullScreen":"Salir del modo pantalla completa","msgNoImage":"Pregunta sin imágenes","msgEndGameScore":"Antes de guardar la puntuación comienza la partida.","msgScoreScorm":"La puntuación no se puede guardar porque esta página no forma parte de un paquete SCORM.","msgOnlySaveScore":"¡Sólo puedes guardar la puntuación una vez!","msgOnlySave":"Sólo puedes guardar una vez","msgInformation":"Información","msgYouScore":"Tu puntuación","msgAuthor":"Autoría","msgOnlySaveAuto":"Tu puntuación se guardará después de cada pregunta. Sólo puedes jugar una vez.","msgSaveAuto":"Tu puntuación se guardará automáticamente después de cada pregunta.","msgSeveralScore":"Puedes guardar la puntuación tantas veces como quieras.","msgYouLastScore":"La última puntuación guardada es","msgActityComply":"Ya has realizado esta actividad.","msgPlaySeveralTimes":"Puedes realizar esta actividad cuantas veces quieras.","msgClose":"Cerrar","msgAudio":"Audio","msgNumQuestions":"Número de tarjetas","msgTryAgain":"Necesitas al menos un %s% de respuestas correctas para conseguir la información. Vuelva a intentarlo.","msgEndGameM":"Has completado el juego. Tu puntuación es %s.","msgUncompletedActivity":"Actividad no completada","msgSuccessfulActivity":"Actividad superada. Puntuación: %s","msgUnsuccessfulActivity":"Actividad no superada. Puntuación: %s","msgTypeGame":"Relaciona","msgCheck":"Comprobar","msgRestart":"Reiniciar"}}
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# Opción B. Nuevo lanzamiento

Domingo 15 de marzo
El Mathington Post

# OCIO

Cosmic Legends revoluciona el acceso a su contenido

Tras meses de rumores y avances, por fin tenemos fecha oficial de lanzamiento del Cosmic Legends: el próximo martes 1 de abril. Podemos avanzar que existirán dos modalidades de suscripción.

La suscripción de por vida cuesta 12€. Con ella, obtienes el juego base y, a partir de ahí, cada expansión (DLC) tiene un precio fijo de 2€.

Por otro lado, existe la opción de acceder al juego base de forma gratuita y pagar 5€ por cada expansión que se desee descargar.

Cada persona que juegue podrá elegir la modalidad que mejor se adapte a sus planes de exploración en este nuevo mundo intergaláctico.

Esta noticia está muy bien escrita pero, como ya sabrás, El Mathington Post siempre busca ir más allá. Sería útil que quien está leyendo pudiese determinar qué modalidad le compensa más con tan solo ver la noticia ¿no crees?

Una gráfica con ambas tarifas sería de gran ayuda, pero para ello es necesario determinar la expresión de la función y posteriormente hacer una tabla de valores.

Vamos a hacerlo poco a poco:

\(x\rightarrow\) número de DLC (variable independiente).

\(y\rightarrow\) precio final que paga el consumidor (variable dependiente).

Modalidad 1 (suscripción de por vida):

la expresión es y= Rellenar huecos (1):JXUwMDZh x+ Rellenar huecos (2):JXUwMDY5JXUwMDAz

Modalidad 1
x | 0 | 4 | 10
y | Rellenar huecos (3):JXUwMDY5JXUwMDAz | Rellenar huecos (4):JXUwMDZhJXUwMDAy | Rellenar huecos (5):JXUwMDZiJXUwMDAx

Modalidad 2 (suscripción gratis):

la expresión es y= Rellenar huecos (6):JXUwMDZk x.

Modalidad 2
x | 0 | 4 | 10
y | Rellenar huecos (7):JXUwMDY4 | Rellenar huecos (8):JXUwMDZhJXUwMDAy | Rellenar huecos (9):JXUwMDZkJXUwMDA1

Ahora ya puedes realizar una única gráfica en la que representes ambas modalidades. Puedes hacerlo en la libreta o usando GeoGebra.

Habilitar JavaScript

# Opción C. Una recta sin contexto

En la redacción ha aparecido una gráfica… pero nadie recuerda de qué trata. Solo tenemos una recta sobre el plano, sin enunciado, sin nombres, sin explicación... sin nada.

Tu tarea es averiguar la expresión de la recta y crear el enunciado que falta. Inventa una situación realista que pueda representarse con esa recta: piensa en qué variables podrían estar relacionadas, qué significan los números y escribe un pequeño texto que explique la situación.

# Problemas en línea recta

Realiza tantos problemas como sean necesarios hasta obtener 10 puntos.

https://www.geogebra.org/m/svs6zzxh (Ventana nueva)

Javier%20Cayetano%20Rodr%EDguez,https%3A//ggbm.at/6154890,Funciones%20lineales.%20Problemas,0,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Autoría: Javier Cayetano

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