# 3.8. Inundaciones II

# Conéctate a la emergencia

¿Conoces el sistema de avisos Es-Alert? ¿Sabes si tu teléfono o el de tus familiares está preparado para recibir esta alerta?

No esperes a que llegue el peligro, consulta estas instrucciones del INCIBE (Instituto Nacional de Ciberseguridad) para configurar el dispositivo.

Lee con atención los avisos, ya que se trata de un sistema general para cualquier situación de riesgo. ¡Actúa con sensatez!

# Tiempo de rotura

## ¿Avisos a tiempo?

El tiempo que tarda en romperse una presa que tiene una brecha depende de su forma, altura, y del tipo de construcción; pero en algunas es cuestión de minutos.

En el caso de presas de materiales sueltos se utiliza esta fórmula:

\(T = 4,8\frac{\sqrt{V}}{H}\)

T es el tiempo en horas que tarda en romperse la presa, V es el volumen de la presa en hectómetros cúbicos y H la altura sobre el cauce del río en metros.

Fuente: Guía técnica para la clasificación de presas, página 16.

## Ejemplo

Imagina que la presa de Acibal/ Pontillón Castro (vertiente Galicia Costa) fuese de materiales sueltos.

Se sabe que tiene de altura 23 metros y de volumen 1,4 hm3.

Empleando la fórmula anterior y con ayuda de la calculadora se obtiene que el tiempo de rotura es:

\(T = 4,8 \frac{\sqrt{1,4}}{23}\) = 0,25 horas, es decir, 15 minutos.

En el paso final, el cambio de unidades de base 10 a base 60, puedes ayudarte de la tecla .

## Tu turno

Calcula el tiempo de rotura para las siguientes presas gallegas, en el caso de que estuviesen hechas con materiales sueltos:

- Barrie de la Maza (H = 48 y V = 31,50 hm3)
- Bayona (H = 45 y V = 0,48 hm3)
- Carantoña (H =10 y V = 0,10 hm3)
- Cecebre (H = 23 y V = 21,69 hm3)
- Con (H = 16 y V = 0,28 hm3)

Fuente: SEPREM - Sociedad Española de Presas y Embalses.

# Generaliza radicales

Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe \(\sqrt[{\color{red}n}]{\color{green}a}=b\), a un número real b que cumple \(b^{\color{red}n}={\color{green}a}\)

\(\sqrt[{\color{red}3}]{\color{green}27}=3\) ya que \(3^{\color{red}3}={\color{green}27}\) \(\sqrt[{\color{red}6}]{\color{green}64}=\pm2\) ya que \(2^{\color{red}6}=(-2)^{\color{red}6}={\color{green}64}\)

\(\sqrt[{\color{red}n}]{\color{green}a}\) | RADICANDO | ÍNDICE | NÚMERO DE RAÍCES
a>0 | n impar | Una raíz positiva
n par | Dos raíces, una positiva y otra negativa
a=0 | n par o impar | Una raíz = 0
a<0 | n impar | Una raíz negativa
n par | No tiene raíz real

Para calcular las raíces n-ésimas debemos:

1. Estudiar el signo del radicando
2. Estudiar si el índice es par o impar
3. Decidir cuántas raíces tiene y buscar el número b que cumpla que \(b^{\color{red}n}={\color{green}a}\)

## Cálculos con radicales

\(\sqrt{a · b}=\sqrt{a} · \sqrt{b}\) | \((\sqrt{a})^2=a\) | \(\sqrt[n]{a · b}=\sqrt[n]{a} · \sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(\sqrt{a^2}=|a|\) | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}\)

Las fracciones debemos simplificarlas para aplicar las propiedades.

Veamos un ejemplo: \(\sqrt{\frac{32}{50}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\)

# Generaliza y practica radicales

Estudia cuántas raíces tienen estos radicales y calcúlalas.

Observaciones: Si la raíz no tiene solución has de escribir Tiene 0 raíz/raíces y es/son ninguna y ninguna, si tiene 2 debes escribir primero la positiva, por ejemplo +3 y -3, y si tiene 1 debes escribir, por ejemplo, -3 y ninguna más.

\(\sqrt[4]{-81}\) Tiene Rellenar huecos (1):JXUwMDY4 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (2):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBm y Rellenar huecos (3):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBm

\(\sqrt[8]{0}\) Tiene Rellenar huecos (4):JXUwMDY5 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (5):JXUwMDY4 y Rellenar huecos (6):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBmJXUwMDQxJXUwMDRkJXUw MDhjJXUwMDky

\(\sqrt[6]{729}\) Tiene Rellenar huecos (7):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (8):JXUwMDczJXUwMDE4 y Rellenar huecos (9):JXUwMDc1JXUwMDFl

\(\sqrt[4]{-256}\) Tiene Rellenar huecos (10):JXUwMDY4 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (11):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBm y Rellenar huecos (12):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBm

\(\sqrt{\frac{4}{9}}\) Tiene Rellenar huecos (13):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (14):JXUwMDczJXUwMDE5JXUwMDFkJXUwMDFj y Rellenar huecos (15):JXUwMDc1JXUwMDFmJXUwMDFkJXUwMDFj

\(\sqrt{\frac{245}{405}}\) Tiene Rellenar huecos (16):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (17):JXUwMDczJXUwMDFjJXUwMDE4JXUwMDE2 y Rellenar huecos (18):JXUwMDc1JXUwMDFhJXUwMDE4JXUwMDE2

\(\sqrt[3]{-8}\) Tiene Rellenar huecos (19):JXUwMDY5 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (20):JXUwMDc1JXUwMDFm y Rellenar huecos (21):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBmJXUwMDQxJXUwMDRkJXUw MDhjJXUwMDky

\(\sqrt[5]{-32}\) Tiene Rellenar huecos (22):JXUwMDY5 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (23):JXUwMDc1JXUwMDFm y Rellenar huecos (24):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBmJXUwMDQxJXUwMDRkJXUw MDhjJXUwMDky

\(\sqrt[4]{625}\) Tiene Rellenar huecos (25):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (26):JXUwMDczJXUwMDFl y Rellenar huecos (27):JXUwMDc1JXUwMDE4

\(\sqrt[5]{-1}\) Tiene Rellenar huecos (28):JXUwMDY5 raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (29):JXUwMDc1JXUwMDFj y Rellenar huecos (30):JXUwMDM2JXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDA5JXUwMDEyJXUwMDFiJXUwMDBmJXUwMDQxJXUwMDRkJXUw MDhjJXUwMDky

\(\sqrt{\frac{49}{25}}\) Tiene Rellenar huecos (31):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (32):JXUwMDczJXUwMDFjJXUwMDE4JXUwMDFh y Rellenar huecos (33):JXUwMDc1JXUwMDFhJXUwMDE4JXUwMDFh

\(\sqrt{\frac{162}{1250}}\) Tiene Rellenar huecos (34):JXUwMDZh raíz/raíces y es/son Rellenar huecos (35):JXUwMDczJXUwMDEyJXUwMDE2JXUwMDFkJXUwMDA3 y Rellenar huecos (36):JXUwMDc1JXUwMDE0JXUwMDE2JXUwMDFkJXUwMDA3

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# Evita desbordamientos

## Quita obstáculos

Para prevenir inundaciones, hay que tomar medidas como, mantener limpio el entorno o eliminar obstáculos que puedan hacer que el río se desborde.

Igualmente, para prevenir que los cálculos "te desborden", puedes usar técnicas aprendidas anteriormente.

Una de ellas es la de factorizar los números grandes, esto permite rebajar su dificultad.

Vas a aplicarlo en el cálculo de raíces.

## 1. Factoriza

Vas a resolver dos raíces del mismo número, 625 000, una cuadrada y otra cúbica:

\(\sqrt{625\,000}\) y de \(\sqrt[3]{625\,000}\)

El primer paso es factorizar 625 000 = 23. 57

Para ello puedes aplicar un diagrama de árbol o utilizar tu calculadora. En este vídeo se muestra un ejemplo para un modelo concreto, revisa el manual de la tuya.

## 2. Reescribe

Analiza el radicando con su nuevo formato:

\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) y \(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\)

Reescribe las potencias para que coincidan el índice y el exponente:

\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt{2^2 · 2^1 · 5^2 · 5^2· 5^2 · 5^1 }\)

\(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt[3]{2^3 · 5^3 · 5^3 · 5^1}\)

## 3. Extrae

Aplicando las propiedades de las raíces, puedes resolver factor a factor:

\(\sqrt{2^2}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \( 2 · 5^3 \sqrt{2^1 · 5^1}\)

\(\sqrt[3]{2^3}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \(2 · 5^2 \sqrt[3]{5^1}\)

El resultado final es:

\(\sqrt{625\,000} = 250\sqrt{10}\)

\(\sqrt[3]{625\,000} = 50\sqrt[3]{5}\)

## Reflexiona

A la vista del resultado sería más sencillo no llegar a la factorización prima.

- Factoriza buscando cuadrados perfectos 625 000 = 25 · 25 · 100 · 10, entonces:

\(\sqrt{25 · 25 · 100 · 10}\) = \(\sqrt{25} · \sqrt{25} · \sqrt{100} · \sqrt{10}\) = \(5 · 5 · 10 ·\sqrt{10}\) =\(250\sqrt{10}\)

- Factoriza buscando cubos perfectos 625 000 = 625 · 1000 = 125 · 5 · 1000, entonces:

\(\sqrt[3]{125 · 5 · 1000}\) = \(\sqrt[3]{125} · \sqrt[3]{1000} · \sqrt[3]{5}\) = \(5 · 10 ·\sqrt[3]{5}\) = \(50\sqrt[3]{5}\)

Por otra parte, si haces factores primos, se pueden comparar directamente el índice y el exponente mediante una división, agilizando la extracción de factores.

Para la raíz cuadrada:

Exponente del 2: 3 entre 2 obtenemos cociente igual a 1 y resto 1

Exponente del 5: 7 entre 2 obtenemos cociente igual a 3 y resto 1

Para la raíz cúbica:

Exponente del 2: 3 entre 3 obtenemos cociente igual a 1 y resto 0

Exponente del 5: 7 entre 3 obtenemos cociente igual a 2 y resto 1

## Ejemplos

Ejemplo 1. Para calcular \(\sqrt[3]{216}\), primero factoriza: 216 = 23 · 33

\(\sqrt[3]{2^3 · 3^3} = 2 · 3 = 6\) por tanto la raíz cúbica de 216 es 6

Ejemplo 2. Para calcular \(\sqrt[3]{600}\) primero factoriza: 600 = 23 · 3 · 52

\(\sqrt[3]{2^3 · 3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{75}\)

También se puede aproximar buscando números cuyo cubo está antes o después del radicando.

Con la calculadora probaremos a elevar al cubo números cuya potencia se aproxime a 600, en este caso, empezaremos por el 8.

Obtenemos que 83 = 512, nos quedamos cortos, probamos el 9; 93 = 729, nos hemos pasado.

Por tanto podemos afirmar que la raíz cúbica de 600 está entre 8 y 9.

# Extrae factores I

Aplica lo aprendido en el apartado anterior.

Factoriza el radicando y resuelve los factores que coincidan con el índice de la raíz (extraer factores).

\(\sqrt{864}\) = Rellenar huecos (1):JXUwMDY5JXUwMDAz · \(\sqrt[2]{6}\)

\(\sqrt[3]{135}\) = Rellenar huecos (2):JXUwMDZi · \(\sqrt[3]{5}\)

\(\sqrt[4]{512}\) = Rellenar huecos (3):JXUwMDZj · \(\sqrt[4]{2}\)

\(\sqrt[4]{583\, 200}\) = Rellenar huecos (4):JXUwMDZh · \(\sqrt[4]{450}\)

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# Extrae factores II

Factoriza el radicando y extrae factores.

https://www.geogebra.org/m/te7jx3yd (Ventana nueva)

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Autoría: Débora Pereiro Carbajo.

# Conecta expresiones

Relaciona cada tarjeta con su pareja.

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Relaciona cada tarjeta con su pareja.

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