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2.1. Problema inicial

La lámpara de Marta

Marta quiere comprar los vidrios para arreglar la lámpara de su estudio. Le sacó una foto, hizo un dibujo para anotar las medidas de los vidrios, pero no pudo tomarlas todas. Decidió mostrar su dibujo al señor de la vidrería para pedirle que fuera él a terminar de medir los vidrios. Cuando el señor vio el dibujo, observó que los segmentos AA', BB', CC' eran paralelos y le dijo a Marta que con las medidas anotadas se podían conocer las que faltaban. El dibujo de Marta es el siguiente

¿Estás de acuerdo que con las medidas anotadas se pueden conocer las que faltan? ¿Por qué?

Para contestar estas preguntas, realiza la siguiente actividad.

    

Actividad 1

Crea la construcción del dibujo de Marta utilizando el siguiente applet GeoGebra.

Utiliza el botón  para intentar calcular las medidas que faltan.

Guarda el archivo como actividad_lampara_marta


     

Actividad 2

¿Cómo podrías obtener las medidas que faltan sin utilizar GeoGebra? 

¿Existe alguna relación entre las longitudes de los segmentos conocidos y los desconocidos? 

Para contestar a estas preguntas realiza las siguientes actividades en el siguiente applet:

Partiremos de una configuración geométrica algo más general, dos rectas secantes cortadas por dos rectas paralelas. Intentaremos encontrar alguna relación entre los segmentos que determinan las paralelas en las secantes.

a. Usa una calculadora para hallar las razones de segmentos correspondientes. Es decir, las razones OA/OA' y AB/A'B'. ¿Qué observas?

c. Modifica las longitudes de los segmentos moviendo algún punto blanco y vuelve a hallar las razones. ¿Se cumple la misma igualdad?

c. Marca la casilla "Ver razones de segmentos correspondientes". Modifica las longitudes de los segmentos y comprueba si se sigue cumpliendo la igualdad.

d. Escribe un enunciado que resuma lo que sucede.

Conclusiones:

Dado el triángulo OBB' siendo A un punto en el lado OB y A' un punto en el lado OB'. Si AA' es paralelo a BB' parece que siempre se cumple la siguiente igualdad:

    

Podemos suponer que esta igualdad entre las razones de segmentos correspondientes se va a cumplir en todos los casos.  A través del applet podemos comprobar que se cumple en "muchos" casos, pero esto no es una demostración matemática. ¿Podemos afirmar que es siempre verdadera?

A continuación intentaremos demostrar esta hipótesis de forma geométrica.