Saltar la navegación

2.2.2. Demostración

Actividad 1

Mueve el deslizador del siguiente applet y fíjate en los triángulos que van apareciendo.

a. ¿Qué elementos tienen en común todos ellos?

b. ¿Recuerdas la fórmula del área de un triángulo? ¿Qué datos necesitarías para calcular el área de los triángulos grises? ¿Es la misma en todos ellos?

     Marca la casilla "Ver áreas triángulos grises" y comprueba si tu conclusión era correcta.

c. Reinicia el applet y modifica la dirección de las paralelas y su distancia arrastrando los puntos verdes. Utiliza de nuevo el deslizador y repite las cuestiones anteriores.

d. Reinicia el applet y modifica el ángulo entre las secantes y sus direcciones arrastrando los puntos naranjas. Utiliza de nuevo el deslizador y repite las cuestiones anteriores.

e. Marca la casilla "Ver triángulos inicial y final" ¿Qué relación hay entre las áreas de esos dos triángulos?


Conclusiones:

Todos los triángulos grises comparten base y su altura es la misma.

Teniendo en cuenta que el área de un triángulo viene dada por la fórmula , todos los triángulos grises tienen la misma área.

Esto es independiente de la distancia entre las paralelas o el ángulo con el que se cortan las secantes.

En particular, tienen la misma área el primero y el último que aparecen, es decir, ABB' y A'BB'.

Actividad 2

En el siguiente applet aparece duplicada la misma construcción de dos rectas secantes cortadas por dos paralelas.

a. Activa la casilla "Ver primera descomposición". Aparecerá una descomposición en dos triángulos, uno rosa y otro naranja, del triángulo OBB'.

Los triángulos naranja y rosa tienen un lado sobre la misma recta (OB) y comparten el vértice opuesto (B'). Teniendo en cuenta la tercera actividad de Para empezar... ¿Qué otro elemento tienen en común? 

b. Activa la casilla "Ver segunda descomposición". Aparecerá una descomposición distinta del mismo triángulo.

Los triángulos naranja y rosa de esta segunda descomposición tienen un lado sobre la misma recta (OB') y comparten el vértice opuesto (B). ¿Qué otro elemento tienen en común?

c. Compara ahora las áreas de los dos triángulos rosas. Ten en cuenta la actividad dos de Para empezar... 

d. Haz lo mismo con los dos triángulos naranjas.

Conclusiones:

Los dos triángulos de la izquierda comparte altura, h1.

Los dos triángulos de la derecha comparten altura, h2.

Los dos triángulos rosas tienen la misma área.

Los dos triángulos naranja tienen la misma área.

Demostración Teorema de Thales:

Teniendo en cuenta las conclusiones de la actividad anterior escribiremos las dos igualdades entre las áreas de los triángulos rosas y naranjas:

Áreas triángulos rosas:                                              Área triángulos naranjas:

                                              

Dividiendo las dos igualdades, se obtiene: 

O lo que es lo mismo:

Y esto es precisamente lo que afirma el Teorema de Thales.

Enunciado Teorema de Thales:

    

   

Dado un triángulo OBB' siendo A un punto del lado OB y A' un punto en el lado OB'. 

Si AA' es paralelo a BB' entonces: 

   

   

   

 

   

Otra  forma de enunciar el Teorema de Thales

  

   

Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra secante. Esto es:

Si AA' y BB' son paralelas entonces 

Observación

Hemos demostrado que:    

y hemos escrito que: 

Para demostrar la segunda igualdad basta con escribir el área del triángulo OBB' tomando como base el lado OB y la altura h1 y tomando como base OB' y altura h2.

Queda como ejercicio hacer esta demostración.

De vuelta a nuestro problema inicial...

En cuanto a nuestro problema inicial, el de la lámpara de Marta, podemos afirmar sin ninguna duda, que el vidriero tenía razón y no se necesitaban tomar más medidas...

Aplicando el Teorema de Thales podemos escribir:

Sustituyendo las medidas conocidas:

   

De manera análoga: