# 3.7. Puesta en común

# ¿Qué tienen en común?

En las bibliotecas, para organizar los libros, se ponen unas letras comunes que los identifican.

Vas a estudiar cómo obtener múltiplos y divisores comunes a varios números, y cómo elegir uno de ellos.

## m.c.d.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.

Por ejemplo, en la imagen está el m.c.d. de 8 y 6 que es 2.

## Ejemplos

Comenzamos buscando los divisores de los números 24, 18 y 12, para calcular el máximo común divisor, m.c.d. (24, 18, 12).

Divisores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}

Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Siempre entre llaves y en orden de menor a mayor.

Los números que se repiten están de color azul, tienen que coincidir en las tres descomposiciones.

Los números que se repiten son el 2, el 3 y el 6.

De todos los divisores que se repiten (comunes), nos quedamos con el mayor de todos (el máximo), que en este caso es el 6.

El máximo común divisor de 24, 18 y 12 es el número 6.

m.c.d. (24, 18, 12) = 6.

Si el único factor común es el 1 estos números son primos entre sí.

## m.c.m.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes.

Por ejemplo, en la imagen está el m.c.m. de 8 y 6 que es 24.

Es más sencillo hallar el máximo común divisor que el mínimo común múltiplo, porque múltiplos hay infinitos y divisores hay un número finito.

## Ejemplos

Hallar el m.c.m. (6, 4, 3).

Paso 1: Busca los múltiplos comunes de los tres números.

Múltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60… }

Múltiplos de 4 ={ 0, 4, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52… }

Múltiplos de 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42… }

Observa que son las tablas de multiplicar del 6, del 4 y del 3.

Se repiten los números: 12, 24, 36...

De todos los múltiplos que se repiten (comunes) en las tres tablas, nos quedamos con el menor de todos: el mínimo, que en este caso es el 12.

El mínimo común múltiplo de 6, 4 y 3 es el número 12.

m.c.m. (6, 4, 3) = 12.

# Factoriza y encuentra

## Factorización prima

A continuación verás un método para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números, utilizando la descomposición en factores primos de cada uno de ellos.

Descomponer un número en factores primos consiste en expresarlo como una multiplicación de números primos.

En el ejemplo de la izquierda hay una descomposición de 50 en factores.

50 = 5 x 10, es una factorización, pero también lo es 50 = 5 x 2 x 2, esta es la factorización prima.

La factorización prima es importante porque es única para cada número.

Algunas calculadoras tienen una tecla que factoriza, mira si la tuya la tiene.

## Ejemplo

Para encontrar esta factorización se van haciendo divisiones del número y el resultado (cociente) se vuelve a dividir hasta obtener un 1.

Las divisiones sucesivas se representan de varias formas. Por ejemplo, en árbol, o también con una línea vertical.

En ese caso, se ponen a la derecha los divisores (factores) y a la izquierda los resultados de la división.

En este ejemplo están las divisiones sucesivas del 18, el 12 y el 24.

La factorización prima de cada uno es

- 18 = 2 x 3 x 3
- 12 = 2 x 2 x 3
- 24 = 2 x 2 x 2 x 3

## m.c.d.

Halla el máximo común divisor (m.c.d.) de los números 18, 12 y 24, utilizando la descomposición en factores primos.

18 = 2 x 3 x 3 poniendo 3 x 3 como potencia: 18 = 2 x 32

12 = 2 x 2 x 3 poniendo 2 x 2 como potencia: 12 = 22 x 3

24 = 2 x 2 x 2 x 3 poniendo 2 x 2 como potencia: 24 = 23 x 3

Elige los factores "comunes con menor exponente": 2 x 3 = 6

El máximo común divisor de 18, 12 y 24 es el número 6.

m.c.d. (18, 12, 24) = 6.

Importante tener en cuenta que, si no hay factores comunes, su m.c.d. es 1, entonces se dice que son números primos entre sí.

## m.c.m.

Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los números 18, 12 y 24 utilizando la descomposición en factores primos.

18 = 2 x 3 x 3 escribe los factores repetidos en forma de potencia: 18 = 2 x 32

12 = 2 x 2 x 3 escribe los factores repetidos en forma de potencia: 12 = 22 x 3

24 = 2 x 2 x 2 x 3 escribe los factores repetidos en forma de potencia: 24 = 23 x 3

Elige los factores "comunes y no comunes con mayor exponente": 23 x 32 = 72

El mínimo común múltiplo de 18, 12 y 24 es el número 72. m.c.m. (18, 12, 24) = 72.

# Texto en contexto

Resuelve los siguientes problemas, utilizando lo visto a lo largo de esta fase del m.c.m. y del m.c.d.

## m.c.m. y m.c.d.

## Cortando cuadrados

1.- Para hacer los símbolos de los títulos de las estanterías de la biblioteca, queremos cortar en cuadrados lo más grande posible una cartulina que mide 18 cm de ancho y 30 cm de largo. ¿Cuál será el ancho máximo del cuadrado?

## Coincidencias

2.- Xoán y Brais son muy buenos lectores, Xoán empieza un libro cada 20 días y Brais cada 38 días.

¿Qué día volverán a coincidir con el inicio de un nuevo libro?

Descarga la ficha de apoyo para resolver estos problemas.

## m.c.d.

## Ordena libros

1.- Enma tiene 24 libros para repartir y Laura 18. Si quieren poner libros en cada estante del mueble, teniendo todas la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos libros repartirán cada una de ellas?

## Agrupa libros

2.- Marco tiene una fila de 120 libros y otra de 96 libros, quiere hacer grupos iguales de las dos filas y que sean lo más largo posibles. ¿Cuántos libros habrán en cada tramo y cuantos tramos en cada fila?

Descarga la ficha de apoyo para resolver estos dos problemas.

# Calcula y juega

En equipos de 4 o 5 personas, debéis construir las figuras propuestas.

Las figuras de tangram que creasteis, podéis colocarlas en las distintas estanterías de la biblioteca para llamar la atención de nuestras compañeras y compañeros y que se animen a hacerlas.

¡Vamos allá!

## Tangram I

## Tangram II

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