Desbrozando factores
Para calcular raíces tendrás que usar distintas técnicas numéricas, combinadas con propiedades.
Una de ellas es la factorización. Los números se "rompen" para poder resolver, factor a factor, la raíz.
A continuación, tienes dos ejemplos, aplicados al número 625 000.
Rompiendo raíces
Quitando maleza
Vas a resolver dos raíces del mismo número, 625 000, una cuadrada y otra cúbica:
\(\sqrt{625\,000}\) y de \(\sqrt[3]{625\,000}\)
1. Factoriza
El primer paso es factorizar 625 000 = 23· 57
2. Reescribe
Analiza el radicando con su nuevo formato:
\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) y \(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\)
Reescribe las potencias para que coincidan el índice y el exponente:
\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt{2^2 · 2^1 · 5^2 · 5^2· 5^2 · 5^1 }\)
\(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt[3]{2^3 · 5^3 · 5^3 · 5^1}\)
3. Extrae
Aplicando las propiedades de las raíces, puedes resolver factor a factor:
\(\sqrt{2^2}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \( 2 · 5^3 \sqrt{2^1 · 5^1}\)
\(\sqrt[3]{2^3}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \(2 · 5^2 \sqrt[3]{5^1}\)
El resultado final es:
\(\sqrt{625\,000} = 250\sqrt{10}\)
\(\sqrt[3]{625\,000} = 50\sqrt[3]{5}\)
Reflexiona
Se buscan expresiones en las que la potencia tenga el mismo exponente que el índice de la raíz.
Si no coinciden, se comparan exponente e índice mediante divisiones.
Para la raíz cuadrada:
Exponente del 2: 3 entre 2 obtenemos cociente igual a 1 y resto 1
Exponente del 5: 7 entre 2 obtenemos cociente igual a 3 y resto 1
Para la raíz cúbica:
Exponente del 2: 3 entre 3 obtenemos cociente igual a 1 y resto 0
Exponente del 5: 7 entre 3 obtenemos cociente igual a 2 y resto 1
No todo es primo
A la vista del resultado sería más sencillo no llegar a la factorización prima.
Y aún así los hay perfectos...
- Factoriza buscando cuadrados perfectos 625 000 = 25 · 25 · 100 · 10, entonces:
\(\sqrt{25 · 25 · 100 · 10}\) = \(\sqrt{25} · \sqrt{25} · \sqrt{100} · \sqrt{10}\) = \(5 · 5 · 10 ·\sqrt{10}\) =\(250\sqrt{10}\)
- Factoriza buscando cubos perfectos 625 000 = 625 · 1000 = 125 · 5 · 1000, entonces:
\(\sqrt[3]{125 · 5 · 1000}\) = \(\sqrt[3]{125} · \sqrt[3]{1000} · \sqrt[3]{5}\) = \(5 · 10 ·\sqrt[3]{5}\) = \(50\sqrt[3]{5}\)
Ejemplos
Ejemplo 1. Para calcular \(\sqrt[3]{216}\), primero factoriza: 216 = 23 · 33
\(\sqrt[3]{2^3 · 3^3} = 2 · 3 = 6\) por tanto la raíz cúbica de 216 es 6
Ejemplo 2. Para calcular \(\sqrt[3]{600}\) primero factoriza: 600 = 23 · 3 · 52
\(\sqrt[3]{2^3 · 3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{75}\)
También puedes aproximar buscando números cuyo cubo está antes o después del radicando.
Con la calculadora probaremos a elevar al cubo números cuya potencia se aproxime a 600, en este caso, empezaremos por el 8.
Obtenemos que 83 = 512, nos quedamos cortos, probamos el 9; 93 = 729, nos hemos pasado.
Por tanto, podemos afirmar que la raíz cúbica de 600 está entre 8 y 9.
