# 3.8. Desbrozando

# Desbrozando factores

Para calcular raíces tendrás que usar distintas técnicas numéricas, combinadas con propiedades.

Una de ellas es la factorización. Los números se "rompen" para poder resolver, factor a factor, la raíz.

A continuación, tienes dos ejemplos, aplicados al número 625 000.

## Rompiendo raíces

## Quitando maleza

Vas a resolver dos raíces del mismo número, 625 000, una cuadrada y otra cúbica:

\(\sqrt{625\,000}\) y de \(\sqrt[3]{625\,000}\)

### 1. Factoriza

El primer paso es factorizar 625 000 = 23· 57

### 2. Reescribe

Analiza el radicando con su nuevo formato:

\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) y \(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\)

Reescribe las potencias para que coincidan el índice y el exponente:

\(\sqrt{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt{2^2 · 2^1 · 5^2 · 5^2· 5^2 · 5^1 }\)

\(\sqrt[3]{2^3 · 5^7}\) = \(\sqrt[3]{2^3 · 5^3 · 5^3 · 5^1}\)

### 3. Extrae

Aplicando las propiedades de las raíces, puedes resolver factor a factor:

\(\sqrt{2^2}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \( 2 · 5^3 \sqrt{2^1 · 5^1}\)

\(\sqrt[3]{2^3}\) = 2, y así sucesivamente. El resultado es \(2 · 5^2 \sqrt[3]{5^1}\)

El resultado final es:

\(\sqrt{625\,000} = 250\sqrt{10}\)

\(\sqrt[3]{625\,000} = 50\sqrt[3]{5}\)

### Reflexiona

Se buscan expresiones en las que la potencia tenga el mismo exponente que el índice de la raíz.

Si no coinciden, se comparan exponente e índice mediante divisiones.

Para la raíz cuadrada:

Exponente del 2: 3 entre 2 obtenemos cociente igual a 1 y resto 1

Exponente del 5: 7 entre 2 obtenemos cociente igual a 3 y resto 1

Para la raíz cúbica:

Exponente del 2: 3 entre 3 obtenemos cociente igual a 1 y resto 0

Exponente del 5: 7 entre 3 obtenemos cociente igual a 2 y resto 1

## No todo es primo

A la vista del resultado sería más sencillo no llegar a la factorización prima.

### Y aún así los hay perfectos...

- Factoriza buscando cuadrados perfectos 625 000 = 25 · 25 · 100 · 10, entonces:

\(\sqrt{25 · 25 · 100 · 10}\) = \(\sqrt{25} · \sqrt{25} · \sqrt{100} · \sqrt{10}\) = \(5 · 5 · 10 ·\sqrt{10}\) =\(250\sqrt{10}\)

- Factoriza buscando cubos perfectos 625 000 = 625 · 1000 = 125 · 5 · 1000, entonces:

\(\sqrt[3]{125 · 5 · 1000}\) = \(\sqrt[3]{125} · \sqrt[3]{1000} · \sqrt[3]{5}\) = \(5 · 10 ·\sqrt[3]{5}\) = \(50\sqrt[3]{5}\)

### Ejemplos

Ejemplo 1. Para calcular \(\sqrt[3]{216}\), primero factoriza: 216 = 23 · 33

\(\sqrt[3]{2^3 · 3^3} = 2 · 3 = 6\) por tanto la raíz cúbica de 216 es 6

Ejemplo 2. Para calcular \(\sqrt[3]{600}\) primero factoriza: 600 = 23 · 3 · 52

\(\sqrt[3]{2^3 · 3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{3 · 5^2}\) = \(2\sqrt[3]{75}\)

También puedes aproximar buscando números cuyo cubo está antes o después del radicando.

Con la calculadora probaremos a elevar al cubo números cuya potencia se aproxime a 600, en este caso, empezaremos por el 8.

Obtenemos que 83 = 512, nos quedamos cortos, probamos el 9; 93 = 729, nos hemos pasado.

Por tanto, podemos afirmar que la raíz cúbica de 600 está entre 8 y 9.

# Extracción de factores I

Aplica lo aprendido en el apartado anterior.

Factoriza el radicando y resuelve los factores que coincidan con el índice de la raíz (extraer factores).

\(\sqrt{864}\) = Rellenar huecos (1):JXUwMDY5JXUwMDAz · \(\sqrt[2]{6}\)

\(\sqrt[3]{135}\) = Rellenar huecos (2):JXUwMDZi · \(\sqrt[3]{5}\)

\(\sqrt[4]{512}\) = Rellenar huecos (3):JXUwMDZj · \(\sqrt[4]{2}\)

\(\sqrt[4]{583\, 200}\) = Rellenar huecos (4):JXUwMDZl · \(\sqrt[4]{450}\)

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Factoriza el radicando e identifica en los exponentes de los factores el índice de la raíz.

Por ejemplo, 583 200 = 5832 · 100 = 23 · 36 · 22 · 52 = 25 · 36 · 52

25 permite extraer un 2 de la raíz cuarta.

36 permite extraer un 3 de la raíz cuarta.

# Extracción de factores II

Relaciona entre sí las siguientes expresiones:

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Relaciona entre sí las siguientes expresiones:

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# Potencias y raíces en la naturaleza

## Potencias

Antes de hacer un cálculo es importante coger perspectiva, mirar al horizonte.

Observa con atención todos los números que forman la expresión, busca similitudes.

¿Puedes extraer factores?, ¿usar propiedades?

Por ejemplo: calcular \(\dfrac{10^{10} - 10^9}{10^8}\).

Fíjate, en el numerador \(\dfrac{10^{10} - 10^9}{10^8}\) hay una resta.

Puedes sacar factor común la base, elevada a la menor de las potencias, es decir:

\(\dfrac{\textcolor{red}{10^9}\ · (10 - 1)}{10^8}\) = \(\dfrac{\textcolor{red}{10^9}\ }{10^8}\) · (10 - 1)

Después, aplicar las propiedades de las potencias, \(\textcolor{red}{10^{9-8}}\cdot(10 - 1)\) y, por último, realizar las operaciones, obteniendo 10 · 9 = 90.

## Raíces

Lo mismo ocurre con el cálculo de raíces.

Observa esta operación: \(\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}\)

Céntrate en el denominador.

Aplica la propiedad de la raíz de un producto: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\)

Por tanto, \(\dfrac{\sqrt{24}}{\textcolor{red}{\sqrt{6}}}\)

Y ahora, la propiedad de la raíz de un cociente: \(\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}\)

El resultado es: \(\sqrt{\dfrac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\)

## Practica

\(\dfrac{5^{20} - 5^{19}}{5^{19}}\) = Rellenar huecos (1):JXUwMDZj

\(\dfrac{7^{11} - 7^9}{7^8}\) = Rellenar huecos (2):JXUwMDZiJXUwMDAwJXUwMDA1

\(\dfrac{\sqrt{90}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}\) = Rellenar huecos (3):JXUwMDZi

\(\dfrac{\sqrt{525}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}}\) = Rellenar huecos (4):JXUwMDZk

\(\dfrac{3^5\cdot27^{-3}\cdot3^{10}}{81^{-1}\cdot243^{2}}\) = Rellenar huecos (5):JXUwMDY5

\(\dfrac{9^7\cdot27^{-5}}{27^{5}:81^{4}}\) = Rellenar huecos (6):JXUwMDY5

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