# 3.6. Naturaleza caprichosa

## Glosario

## Fractal

Definición:

  Objeto geométrico en el que una misma estructura se repite a diferentes escalas y tamaños.

  El término viene del latín "fractus", que significa fracturado.

Ejemplo:

  El triángulo de Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.

# Las formas de la naturaleza

¿Qué forma tienen las montañas? ¿Y los árboles? ¿O la cornamenta de las cabras?

Las formas de la naturaleza no son regulares, tienen contornos difíciles de dibujar.

En muchos de ellos se aprecia una repetición geométrica; esto es así porque en su crecimiento siguen un patrón, en el que cada parte es copia reducida del total. Son "autosemejantes".

En matemáticas, cuando una figura cumple esta condición, se le da el nombre de fractal. Para contar sus elementos se recurre a las potencias.

En estas actividades verás algunos ejemplos.

## Lectura facilitada

En la naturaleza hay formas geométricas complicadas.

Muchas siguen una repetición en su crecimiento.

Son "autosemejantes".

En matemáticas a esas formas se les llama fractales.

Para contarlas se usan las potencias.

# Montaña de triángulos

Observa la imagen, se trata del Triángulo de Sierpinski.

Su construcción se trató el curso pasado en geometría.

En esta actividad vas a analizar cómo contar los triángulos coloreados que lo forman.

Ten en cuenta que, como ocurre con todo objeto fractal, su estructura se replica; por eso buscarás una estrategia que permita saber cuantos hay sin tener que contarlos uno a uno.

Empieza a contar en uno de los vértices del triángulo mayor, ahí tienes un triángulo pequeño de color verde.

Este número puedes expresarlo como 1 = 3^ Rellenar huecos (1):JXUwMDY4 .

Siguiendo por tamaño, el siguiente triángulo está formado por 3 verdes. Este número puedes ponerlo como 3 = 3^ Rellenar huecos (2):JXUwMDY5 .

El siguiente tamaño tiene 9, que puedes expresarlo como 9 = 3^ Rellenar huecos (3):JXUwMDZh .

Seguro que ya comprendes cuál es la secuencia, 27 = 3^ Rellenar huecos (4):JXUwMDZi y 81 = 3^ Rellenar huecos (5):JXUwMDZj .

En el siguiente tema conocerás más series numéricas como esta y podrás dibujarlas.

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Recuerda que una potencia expresa el número de veces que se multiplica un número entero por sí mismo.

Además, si se multiplican potencias con la misma base, los exponentes se suman.

# Racionales y potencias

La potencia de un número racional se define del mismo modo que para números enteros.

Así, el exponente hace referencia al número de veces que se multiplica la base.

Por ejemplo, \(\left(\dfrac{3}{7}\right)^3 = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{3^3}{7^3} = \dfrac{9}{343}\)

En el siguiente esquema tienes un resumen de las propiedades de potencias que trabajaste anteriormente.

Haz clic con el ratón sobre la imagen para descargarlo o abrirlo en PDF.

# Producto y cociente de potencias racionales

Al tener claro el concepto de potencia de un número racional, es muy fácil hacer operaciones.

Observa cómo el producto de un número racional hace referencia al número de veces que se repite cada base.

Utiliza los deslizadores de la izquierda para obtener diferentes bases racionales.

Los deslizadores de la derecha te darán diferentes exponentes para el producto y cociente de fracciones.

https://www.geogebra.org/m/hwyedcfr (Ventana nueva)

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# Trabajando con potencias

A continuación tienes unas pautas que te ayudarán a trabajar con potencias de base racional.

## 1. Identifica la operación

### ¿Qué operación se realiza?

Primero, debes identificar si se trata de un producto de potencias de números, lo que implica multiplicarlos; de un cociente, por lo que debes dividir; o de una potencia de otra potencia.

## 2. Identifica los elementos

### Analiza las bases y los exponentes

Una vez hayas identificado las operaciones, debes estudiar si son iguales las bases o los exponentes de dichas potencias:

\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 · \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-6}\) , misma base,

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 : (-2)^3\) , mismo exponente,

\(\left(-\dfrac{4}{5}\right)^4 : \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}\) , base y exponente distintos.

### 2.1. Bases iguales

La base permanece igual y se operan exponentes, sumando en el producto y restando en el cociente:

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 · \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-6}\) misma base \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 · \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-6}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5+{(-6)}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3\)

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 : \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-6}\) misma base \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 : \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-6}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-{(-6)}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}\)

### 2.2. Exponentes iguales

Recuerda que la potencia de un producto (cociente) es el producto de las potencias (cociente); revísalo en el esquema (propiedad 6).

Puedes interpretar que vienen de esta operación y operar las bases:

\(\left(\dfrac{7}{8}\right)^3 · \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\) es la potencia de un producto \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{7}{8}\right)^3 · \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3=\left[\left(\dfrac{7}{8}\right) · \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]^{3}=\left(-\dfrac{7}{16}\right)^{3}\)

\(\left(\dfrac{7}{8}\right)^3 : \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\) es la potencia de un cociente \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{7}{8}\right)^3 : \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3=\left[\left(\dfrac{7}{8}\right) : \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]^{3}=\left(-\dfrac{14}{8}\right)^{3}=\left(-\dfrac{7}{4}\right)^{3}\)

### 2.3. Bases y exponentes distintos

No es posible simplificar la expresión si no hay coincidencias.

En este caso, si es posible, tendrás que intentar reescribir la expresión para que coincidan las bases.

Un método es factorizar la base, buscando potencias (22, 23, 32, ...).

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{1}{27}\right)^{-4}\) reescribe factorizando \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{1}{3^3}\right)^{-4} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-12} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{4+(-12)} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-8}\)

\(3^4: 9^{-4}\) reescribe factorizando \(\rightarrow\) \(3^4: 9^{-4}=3^4: (3^2)^{-4}=3^4:3^{-8}=3^{4-(-8)}=3^{12}\)

# Conexión racional

En una parcela forestal, el equipo técnico realiza diferentes tareas para el aprovechamiento y conservación del monte. Cada actividad requiere hacer cálculos con potencias de números racionales. Relaciona cada tarea con su expresión numérica correcta.

¡Presta atención a las propiedades de las potencias!

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En una parcela forestal, el equipo técnico realiza diferentes tareas para el aprovechamiento y conservación del monte. Cada actividad requiere hacer cálculos con potencias de números racionales. Relaciona cada tarea con su expresión numérica correcta.

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